[논문 리뷰] Exactly soluble spin-1/2 models on three-dimensional lattices and non-abelian statistics of closed string excitations

Tieyan Si, Yue yu|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 10.

Advanced Condensed Matter Physics참고 문헌 1인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 허브의 허브론 모델을 일반화한 3차원 다이아몬드 격자 위의 정확히 해석 가능한 스핀-1/2 모델을 제안한다. 이 모델은 비가역적 통계를 따르는 닫힌 스트링 비편미를 갖는 위상적 순서를 보이며, 비가역적 통계는 금속성 단계에서, 아벨 통계는 금속성 단계에서 나타난다. 모델은 이러한 단계 사이의 위상적 상전이를 실현하며, 윌슨 루프 유사 비편미를 통해 비아벨 통계의 격자 실현을 제공하며, SU(2) k=2 초전도체 이론과 연결된다.

ABSTRACT

Exactly soluble spin-$\frac{1}2$ models on three-dimensional lattices are proposed by generalizing Kitaev model on honeycomb lattice to three dimensions with proper periodic boundary conditions. The simplest example is spins on a diamond lattice which is exactly soluble. The ground state sector of the model may be mapped into a p-wave paired state on cubic lattice. We observe for the first time a topological phase transition from a gapless phase to a gapped phase in an exactly soluble spin model. Furthermore, the gapless phase can not be gapped by a perturbation breaking the time reversal symmetry. Unknotted and unlinked Wilson loops arise as eigen excitations, which may evolute into linked and knotted loop excitations. We show that these closed string excitations obey abelian statistics in the gapped phase and non-abelian statistics in the gapless phase.

연구 동기 및 목표

• 허브론의 허브론 격자 위의 정확히 해석 가능한 스핀-1/2 모델을 3차원으로 일반화하여, 특히 다이아몬드 격자에서 수행한다.
• 3D 스핀 모델에서 위상적 단계, 즉 금속성 단계와 금속성 단계를 식별하고 특성화한다.
• 닫힌 스트링 비편미가 금속성 단계에서는 비아벨 통계를, 금속성 단계에서는 아벨 통계를 따름을 보여준다.
• 모델의 비편미와 3D 초전도체 이론에서의 윌슨 루프, 특히 SU(2) k=2 이론 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 정확히 해석 가능한 모델에서 처음으로 금속성 단계와 금속성 단계 사이의 위상적 상전이 존재를 보여준다.

제안 방법

• 네 가지 다른 링크 유형(x, y, z, v)을 따라 근처 이웃 상호작용을 사용하여 3D 다이아몬드 격자 위에 해밀토니안을 구성한다.
• 상호작용하는 루프 연산자 $ S_p $ 의 집합을 도입하며, 이들은 운동량의 적분으로 작용하고 힐베르트 공간을 위상적으로 다른 섹터로 분할한다.
• 스핀 모델을 $ \sigma^x = i b_x c $, $ \sigma^y = i b_y c $, $ \sigma^z = i b_z c $ 를 사용한 마요라나 페르미온 표현으로 매핑하며, 조건 $ b_x b_y b_z c = 1 $ 을 포함한다.
• 링크 변수 $ u_{ij} = i b_i b_j $ 를 정의하며, 이들은 보존되며 값 $ \pm 1 $ 을 취한다. 이를 통해 해밀토니안을 페르미온 이동 및 쌍화 항으로 다시 쓸 수 있다.
• 리브의 정리에 따라 모든 $ u_{ij} = 1 $ 인 섹터에서 지상 상태를 식별하며, 이는 $ S_p = 1 $ 과 대응한다. 루프 비편미는 $ u_{ij} = -1 $ 이 홀수 개인 구성으로 식별된다.
• 연속체 근사에서 3D 격자를 $ S^3 $ 으로 압축하고, conformal field theory 와 단일계수 행렬을 사용하여 윌슨 루프 비편미를 분석하며, $ B $-행렬과 스케인 관계를 통해 비아벨 통계를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 정확히 해석 가능한 스핀-1/2 모델을 구성할 수 있는가? 이 모델은 비아벨 anyonic 스트링 비편미를 지닐 수 있는가?
• RQ2 이러한 모델에서 금속성 단계와 금속성 단계 사이의 상전이의 성격은 무엇인가?
• RQ3 이 모델의 닫힌 스트링 비편미는 어떻게 비아벨 통계를 실현하며, 초전도체 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 왜 금속성 단계는 시간역전 대칭 위반 외부 힘에 대해 강건한가?
• RQ5 이 틀 안에서 풀리지 않은, 떨어진, 연결된, 뭉친 루프 비편미의 통계는 일관되게 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 모델은 금속성 단계(위상적으로 평탄함, 허프 인바리언트가 0)와 금속성 단계(위상적으로 비평탄함, 허프 매핑의 특이성으로 인해 비영인 위상 수를 가짐) 사이의 위상적 상전이를 실현한다.
• 금속성 단계에서 닫힌 스트링 비편미는 아벨 통계를 따르며, 허프 인바리언트가 운동량 공간에서의 연결 수와 동치임을 확인하였다.
• 금속성 단계에서 닫힌 스트링 비편미는 비아贝尔 통계를 나타내며, 단일계수 행렬 $ B $ 는 항등행렬에 비례하지 않으며, $ S^2 $ 상의 3상태 힐베르트 공간은 $ q = e^{i\frac{\tau}{2}} $, $ \tau = \pi/2 $ 인 스케인 관계를 만족한다.
• $ B $-행렬의 고유값은 $ \lambda_1 = e^{-i\pi/8} $, $ \lambda_2 = -e^{i3\pi/8} $ 로 확인되어 비아벨 빈딩 통계를 확인한다.
• 금속성 단계는 시간역전 대칭 위반 외부 힘에 의해도 여전히 금속성 유지되며, 위상적 보호를 나타낸다.
• 이 모델은 비아벨 통계를 따르는 윌슨 루프 비편미의 격자 실현을 제공하며, 위트의 SU(2) k=2 초전도체 이론의 구성과 매우 유사하다.