[논문 리뷰] Examples of extremal quasiconvex quadratic forms that are not polyconvex

Davit Harutyunyan, Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 14.

Composite Material Mechanics참고 문헌 8인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 완전한 입방 대칭이 아닌 순환 대칭과 축 반사 대칭만을 갖는 경우, 관련된 제4계 텐서가 극단적인 쿼시볼록(quasiconvex) 이차형식이지만 다각형볼록(ployconvex)이 되지 않는다는 것을 입증한다. 이는 완전한 입방 대칭 하에서는 쿼시볼록성과 다각형볼록성이 동치가 되는 것과 대조된다. 또한, 임의의 도메인에서 이러한 형식의 적분에 대해 정확한 경계값을 제공하는 비선형 경계 조건을 규명한다.

ABSTRACT

We prove that if the associated fourth order tensor of a quadratic form has a linear elastic cubic symmetry then it is quasiconvex if and only if it is polyconvex, i.e. a sum of convex and null-Lagrangian quadratic forms. We prove that allowing for slightly less symmetry, namely only cyclic and axis-reflection symmetry, gives rise to a class of extremal quasiconvex quadratic forms, that are not polyconvex. Non-affine boundary conditions on the potential are identified which allow one to obtain sharp bounds on the integrals of these extremal quasiconvex quadratic forms of $ abla u$ over an arbitrary region.

연구 동기 및 목표

• 완전한 입방 대칭보다 약한 대칭 조건 하에서 이차형식에 대해 쿼시볼록성이 다각형볼록성을 함의하는지 조사하기.
• 다각형볼록성이 아닌 극단적인 쿼시볼록 이차형식의 클래스를 규명함으로써, 대칭적이지 않은 경우 쿼시볼록성과 다각형볼록성의 동치성에 도전하기.
• 임의의 영역에서 이러한 극단적 형식의 적분에 대해 정확한 경계를 제공하는 비선형 경계 조건을 규명하기.

제안 방법

• 순환 및 축 반사 대칭 하에서 이차형식과 관련된 제4계 텐서의 구조를 분석한다.
• 영라그랑지안 이론과 볼록성 이론을 적용하여 이차형식을 다각형볼록 또는 그렇지 않음을 분류한다.
• 대칭성 감소 기법을 활용하여 쿼시볼록이지만 다각형볼록이 아닌 형식의 구체적 예를 구성한다.
• 잠재 함수에 특정 비선형 경계 조건을 도입하여 이러한 형식의 적분에 대한 정확한 경계를 도출한다.
• 변분 방법을 활용하여 경계 자료와 최적의 적분 추정치 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 입방 대칭이 아닌 순환 및 축 반사 대칭만 존재할 때, 이차형식에 대해 쿼시볼록성이 다각형볼록성을 함의하는가?
• RQ2 감소된 대칭 조건 하에서 다각형볼록성이 아닌 극단적인 쿼시볼록 이차형식이 존재할 수 있는가?
• RQ3 임의의 영역에서 이러한 극단적 형식의 적분에 대해 정확한 경계를 제공하는 잠재 함수의 비선형 경계 조건은 무엇인가?
• RQ4 제4계 텐서의 대칭 성질이 관련된 이차형식의 쿼시볼록성과 다각형볼록성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 완전한 입방 대칭 하에서는 이차형식에 대해 쿼시볼록성과 다각형볼록성이 동치이다.
• 대칭성이 순환 및 축 반사 대칭으로 감소된 경우, 다각형볼록이지만 극단적인 쿼시볼록 이차형식이 존재한다.
• 이러한 극단적 형식은 다각형볼록성을 보장하기에 충분한 대칭성이 손실되었기 때문에 발생한다.
• 임의의 영역에서 이러한 극단적 형식의 적분에 대해 정확한 경계를 제공하는 비선형 경계 조건이 규명되었다.
• 지정된 경계 자료 하에서 변분 분석을 통해 정확한 경계가 도출되었으며, 이는 에너지 적분에 대한 최적 추정치를 제공한다.