[논문 리뷰] Examples of flag-wise positively curved spaces

Ming Xu|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 06.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 켈링 항법 기반의 변형 기법을 사용하여 컴팩트 리 군과 동치 공간 위에 플래그별로 양의 곡률을 갖는 페인러 메트릭을 구성한다. 임의의 중심이 자명한 비아벨 컴팩트 리 군이 그러한 메트릭을 갖는다는 것을 증명하며, 더 일반적으로 모든 컴팩트 단순연결 동치 공간 $G/H$ 와 그 $S^1$-곱공간도 플래그별로 양의 곡률을 갖는 페인러 메트릭을 갖는다. 이들 중 많은 것은 비균일성이 될 수 있다.

ABSTRACT

A Finsler space $(M,F)$ is called flag-wise positively curved, if for any $x\in M$ and any tangent plane $\mathbf{P}\subset T_xM$, we can find a nonzero vector $y\in \mathbf{P}$, such that the flag curvature $K^F(x,y, \mathbf{P})>0$. Though compact positively curved spaces are very rare in both Riemannian and Finsler geometry, flag-wise positively curved metrics should be easy to be found. A generic Finslerian perturbation for a non-negatively curved homogeneous metric may have a big chance to produce flag-wise positively curved metrics. This observation leads our discovery of these metrics on many compact manifolds. First we prove any Lie group $G$ such that its Lie algebra $\mathfrak{g}$ is compact non-Abelian and $\dim\mathfrak{c}(\mathfrak{g})\leq 1$ admits flag-wise positively curved left invariant Finsler metrics. Similar techniques can be applied to our exploration for more general compact coset spaces. We will prove, whenever $G/H$ is a compact simply connected coset space, $G/H$ and $S^1 imes G/H$ admit flag-wise positively curved Finsler metrics. This provides abundant examples for this type of metrics, which are not homogeneous in general.

연구 동기 및 목표

• 전역 양의 곡률보다 약한 조건인 플래그별 양의 곡률 조건(FP)을 만족하는 새로운 페인러 메트릭 예제를 구성하는 것.
• 이전 연구에서 제기된 문제 4.4를 해결하여 중심이 작은 비아벨 컴팩트 리 군 위에 이러한 메트릭의 존재를 증명하는 것.
• 이러한 구성 기법을 일반적인 컴팩트 단순연결 동치 공간 $G/H$ 와 그 $S^1$-곱공간으로 확장하는 것.
• 비음성 곡률을 갖는 동차 메트릭의 일반적인 페인러 변형이 플래그별 양의 곡률 메트릭을 유도할 수 있음을 보여주는 것.
• 이러한 메트릭이 풍부하며 반드시 동차일 필요가 없음을 보이며, 알려진 예제의 범주를 넓히는 것.

제안 방법

• 컴팩트 리 군 위의 양측 불변 또는 정규 동차 페인러 메트릭을 켈링 항법 기법을 사용해 변형한다.
• 구구면 배럴 $\mathcal{S}M$ 상에서의 단위 분할을 적용하여 항법에 의해 정의된 국소 페인러 메트릭을 붙이는 데 사용한다.
• 노름이 작은 켈링 벡터장을 사용하여 열린 집합 $\mathcal{U}_i$ 상에서 국소 페인러 메트릭 $\tilde{F}_{i;\epsilon}$ 를 구성한다.
• 부드러운 단위 분할을 통해 전역 메트릭 $F_\epsilon = \sum \mu_i F_{i;\epsilon}$ 가 여전히 양의 정부호임을 보장한다.
• 플래그 곡률 공식 $K^F(x,y,\mathbf{P}) = \frac{\langle R_y v, v \rangle_y^F}{\|y\|_y^2 \|v\|_y^2 - \langle y,v \rangle_y^2}$ 을 이용해 양의 곡률를 검증한다.
• 위상적 추론(예: codimension 1 구면과의 원의 유한한 교차를 통한 모순)을 사용하여 모든 접선 평면이 플래그 곡률가 양수인 영역과 교차함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\dim \mathfrak{c}(\mathfrak{g}) \leq 1$ 인 컴팩트 비아벨 리 군 위에 플래그별로 양의 곡률를 갖는 페인러 메트릭을 구성할 수 있는가?
• RQ2 모든 컴팩트 단순연결 동치 공간 $G/H$ 는 플래그별로 양의 곡률를 갖는 페인러 메트릭을 갖는가?
• RQ3 이러한 메트릭을 동차성 조건 없이 구성할 수 있는가? 즉, 기존의 동차 예제를 넘어서는가?
• RQ4 비음성 곡률 메트릭의 일반적인 페인러 변형이 플래그별 양의 곡률 조건을 충족시키는 데 충분한가?
• RQ5 $S^1$-곱공간 구성법이 플래그별 양의 곡률 성질을 유지하는가?

주요 결과

• 모든 중심이 자명한 비아벨 컴팩트 리 군은 왼쪽 불변 플래그별 양의 곡률를 갖는 페인러 메트릭을 갖는다.
• 모든 컴팩트 단순연결 동치 공간 $G/H$ 에 대해 $G/H$ 와 $S^1 \times G/H$ 는 플래그별 양의 곡률를 갖는 페인러 메트릭을 갖는다.
• 구성된 메트릭은 반드시 동차일 필요가 없으며, 이는 이러한 메트릭이 동차 클래스를 초월해 풍부함을 보여준다.
• 모든 접선 평면에서 일반적인 접선 벡터에 대해 플래그 곡률가 양수이므로 전역적으로 (FP) 조건을 만족한다.
• 켈링 항법과 구구면 배럴 상의 단위 분할을 사용한 정교한 접합 과정에 의존한다.
• 이 방법은 국소 변형을 통해 플래그별 양의 곡률를 달성하면서도 전역 메트릭이 페인러(양의 정부호 헤시안)임을 보장한다.