[논문 리뷰] Examples of group actions which are virtually W*-superrigid

Jesse Peterson|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 09.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 특정 조건—예를 들어, 군 Γ가 클래스 𝒞에 속하고(즉, C₀ 표현으로의 비유계 코ycle을 갖는다), 포함관계 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 가 아래에서 Haagerup 성질을 갖는다—하에, 군-측도 공간 von Neumann 대수 간의 임의의 동형사상이 Cartan 부분대수를 유니터리 코열에 의해 보존해야 한다고 증명함으로써, 가상으로 W*-초강력성인 군 작용의 새로운 예를 확립한다. 주요 결과는 이러한 작용이 가상으로 W*-초강력성임을 의미하며, 이는 W*-동치성과 궤도 동치성이 일치하고, Cartan 부분대수는 코일에 의해 유일함을 의미한다.

ABSTRACT

We show that if G is a discrete group which does not have the Haagerup property but does have an unbounded cocycle into a C_0 representation and if G acts on a finite von Neumann algebra B such that the inclusion B \subset (B times G) has the Haagerup property from below then any group-measure space Cartan subalgebra must have a corner which embeds into B inside B times G. Taking the action to be trivial we produce examples of II_1 factors N such that N \otimes M is not a group-measure space construction whenever M is a finite factor with the Haagerup property. Taking the action on a probability space with the Haagerup property from below we produce examples of von Neumann algebras which have unique group-measure space Cartan subalgebras. Taking profinite actions of certain products of groups we use the unique Cartan decomposition theorem of N. Ozawa and S. Popa and the cocycle superrigidity theorem of A. Ioana to produce actions which are virtually W*-superrigid.

연구 동기 및 목표

• 군-측도 공간 구성이 가상으로 W*-초강력성이 되는 조건을 규명하는 것, 즉 W*-동치성이 궤도 동치성으로 이어짐을 의미한다.
• 특정 분석적·기하적 제약 조건 하에서 군 작용으로부터 유도된 II₁ 요인에서 Cartan 부분대수의 유일성을 확립하는 것.
• OE-초강력성과 W*-초강력성 간의 격차를 메우기 위해, W*-동치성이 궤도 동치성으로 이어지는 작용을 구성하는 것.
• 상호연결 기법과 아래에서의 Haagerup 성질을 사용하여, Cartan 부분대수가 서로에 삽입되어야 하며, 결과적으로 유니터리 코일에 의해 동치가 됨을 증명하는 것.

제안 방법

• Sauvageot의 이론을 통해 닫힐 수 있는 도함수와 완전히 양의 정의된 변형 간의 관계를 이용하여 포함관계에서 아래에서의 Haagerup 성질을 분석한다.
• Popa의 기본적인 상호연결 기법을 적용하여, 한 Cartan 부분대수의 코너가 다른 곳에 삽입될 경우, 이들이 환경 인피니트에서 유니터리 코일에 의해 동치가 됨을 보인다.
• Ozawa와 Popa의 유일한 Cartan 분해 정리 및 Ioana의 코ycle 초강력성 정리를 활용하여, 유일한 Cartan 부분대수를 갖는 작용을 구성한다.
• 포함관계 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 가 아래에서 Haagerup 성질을 갖는 유한 von Neumann 대수 위에서의 군 작용을 분석한다. 특히 Γ가 클래스 𝒞에 속하지만 Haagerup 성질을 갖지 않는 경우를 중심으로 한다.
• 만약 $N = L^\infty(X,\mu)\rtimes\Gamma$ 가 Haagerup 성질을 갖지 않는다면, 임의의 동형인 군-측도 공간 구성은 반드시 Cartan 부분대수의 코너가 원래 대수에 삽입되어야 한다는 사실을 이용한다.
• 정리 5.3을 적용하여, $N$ 이 Haagerup 성질을 갖지 않는 한, $L^\infty(Y,\nu)$ 의 코너가 $L^\infty(X,\mu)$ 에 삽입되어야 하며, 이는 고유성 결과를 통해 유니터리 코일에 의해 동치가 됨을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 공간 위의 군 작용이 어떤 조건에서 가상으로 W*-초강력성이 되는가? 즉, W*-동치성이 궤도 동치성으로 이어지는가?
• RQ2 군-측도 공간 구성에서 Cartan 부분대수는 어떤 조건에서 유니터리 코일에 의해 유일한가?
• RQ3 포함관계 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 에서의 아래에서의 Haagerup 성질이, 임의의 동형인 군-측도 공간 구성이 반드시 Cartan 부분대수를 보존해야 함을 보장하는가?
• RQ4 C₀ 표현으로의 비유계 코ycle과 Haagerup 성질 간의 상호작용이 von Neumann 대수에서 강성( rigidity )을 어떻게 유도하는가?
• RQ5 비-Haagerup 군과 Haagerup 성질을 갖는 포함관계의 조합이 W*-초강력성을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $\Gamma \in \mathcal{C}$ 이고, Haagerup 성질을 갖지 않으며, 포함관계 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 가 아래에서 Haagerup 성질을 갖는다면, 임의의 동형인 군-측도 공간 구성은 반드시 원래의 Cartan 부분대수와 유니터리 코일에 의해 동치가 된다.
• 자명한 작용의 경우, $M$ 이 Haagerup 성질을 갖는 유한 요소일 때, $N \overline{\otimes} M$ 은 어떤 군-측도 공간 구성이 될 수 없으며, 이는 $N$ 이 그러한 구성과 W*-동치가 아니라는 것을 의미한다.
• 작용이 프로파인일 때, $\Gamma$ 가 비유계 코ycle을 갖는 군의 곱이면, 유일한 Cartan 분해 정리와 코ycle 초강력성 정리를 통해 가상으로 W*-초강력성이 도출된다.
• 포함관계 $A \subset N$ 이 아래에서 Haagerup 성질을 갖는다 ↔ $N$ 이 Haagerup 성질을 갖고 $\Gamma$ 도 Haagerup 성질을 갖는다.
• 만약 $N = L^\infty(Y,\nu)\rtimes\Lambda \cong L^\infty(X,\mu)\rtimes\Gamma$ 이고 $\Gamma$ 가 Haagerup 성질을 갖지 않는다면, $N$ 내부에서 $L^\infty(Y,\nu)$ 의 코너가 $L^\infty(X,\mu)$ 에 삽입되어야 하며, 이는 고유성 결과를 통해 유니터리 코일에 의해 동치가 된다.
• $II_1$ 요인에서 유일한 Cartan 부분대수를 갖는 경우, W*-동치성은 궤도 동치성으로 이어지고, Theorem A in Ioana [11] 에 의해 작용은 코일에 의해 동치가 된다.