[논문 리뷰] Examples of infinite dimensional Banach spaces without infinite equilateral sets

E. Glakousakis, Sophocles Mercourakis|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 09.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한차원이며 분리 가능한 바나흐 공간을 구성하며, 이 공간은 절대기저를 가지지만 $\ell_1$의 부분공간과 동형이 아니며, 무한한 등거리 집합을 포함하지 않는다. 유한차원 바나흐 공간들로 구성된 직합 위에서 재귀적 노름 구축을 통해, 저자들은 테렌지의 방법을 응용하여 이러한 공간들이 등거리 수열을 포함하지 않도록 재노름화할 수 있음을 보이며, $\ell_1$ 이외의 새로운 예를 제공한다. 주요 기여는 cotype이 2보다 큰 비-$\ell_1$ 공간으로 테렌지의 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

An example of an infinite dimensional and separable Banach space is given, that is not isomorphic to a subspace of l1 with no infinite equilateral sets.

연구 동기 및 목표

• 테렌지의 무한한 등거리 집합이 없는 바나흐 공간의 구성 방법을 $\ell_1$를 초월하여 다른 무한차원 공간으로 확장하는 것.
• 절대기저를 가진 분리 가능한 바나흐 공간 중 $\ell_1$의 부분공간과 동형이 아니지만 여전히 무한한 등거리 집합을 포함하지 않는 공간이 존재함을 보여주는 것.
• 유한차원 성분들 위에서 재귀적이고 귀납적인 정의를 통한 노름 재노름화 방법을 일반화하여 이러한 공간을 생성하는 것.
• cotype이 $>2$인 공간들이 등거리 수열을 피할 수 있도록 재노름화될 수 있음을 입증하는 것, 즉 $\ell_1$과 동형이 아니어도 된다는 것.

제안 방법

• 유한지지 시퀀스 $(x_n)$를 가지는 공간 $c_{00}((X_n))$ 위에 재귀적 노름 $\|\cdot\|$ 를 정의하며, 이는 마지막 성분의 가중 평균과 접두어의 노름을 조합한다.
• 유도된 노름이 $\sum_{n=1}^m (1 - \frac{1}{n+1})\|x_n\|_n \leq \| (x_1,\dots,x_m) \| \leq \sum_{n=1}^m \|x_n\|_n$ 를 만족함을 증명하여 원래의 $\ell_1$-합 노름과 동치임을 보장한다.
• 공간을 완비화하여 바나흐 공간 $X$를 구성하며, 이는 원래의 $Z = (\sum_{n=1}^\infty \oplus X_n)_1$와 2-동형임을 보이며 핵심 기하적 성질을 유지한다.
• 단계 5에서 귀납적 모순 증명을 사용하여, 등거리 집합이 존재한다고 가정하면 노름 부등식 위반이 발생함을 보여, 무한한 등거리 집합이 존재할 수 없음을 입증한다.
• $X_n = \ell_p^n$ 이고 $p > 2$ 인 경우에 이 구성법을 적용하여, 결과 공간의 cotype이 $\geq p > 2$ 가 되도록 보장하며, 이는 $\ell_1$로의 동형이 불가능함을 의미한다.
• cotype과 $\ell_1$-임bedding에 관한 기존 결과를 활용하여, 구성된 공간이 $\ell_1$의 부분공간과 동형이 아니며 여전히 등거리 수열을 포함하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 테렌지의 무한한 등거리 집합이 없는 바나흐 공간을 구성하는 방법을 $\ell_1$를 초월하여 다른 무한차원 공간으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 절대기저를 가진 분리 가능한 바나흐 공간 중 $\ell_1$의 부분공간과 동형이 아니지만 여전히 무한한 등거리 집합을 포함하지 않는 공간이 존재하는가?
• RQ3 cotype은 재노름화된 $\ell_1$-합 유한차원 공간들에서 등거리 집합의 존재 또는 부재에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 1-절대기저를 가진 바나흐 공간들의 $\ell_1$-합 위에서 재귀적이고 귀납적인 노름 구성법이 등거리 수열이 없는 공간을 생성할 수 있는가?
• RQ5 cotype이 $>2$인 공간을 구성하면서도 무한한 등거리 집합이 존재하지 않도록 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $X_n = \ell_p^n$ 이고 $p > 2$ 인 경우에 재귀적 노름 구성법을 사용하여, $\ell_1$의 부분공간과 동형이 아니며 절대기저를 가진 분리 가능한 바나흐 공간 $X$를 구성한다.
• 구성된 공간 $X$는 등거리 집합이 존재하지 않는 동치 노름을 가짐을 보이며, 이는 테렌지의 결과를 $\ell_1$에서 비-$\ell_1$ 공간으로 일반화한 것이다.
• 공간 $X$는 cotype $\geq p > 2$ 를 가지며, $\ell_1$의 cotype이 2이므로 표준적인 cotype과 타입에 관한 결과에 따라 $X$는 $\ell_1$의 부분공간과 동형일 수 없다.
• 증명은 단계 5에서 모순 증명에 기반하며, 등거리 집합이 존재한다고 가정하면 새로운 노름 하에서 삼각부등식 위반이 발생함을 보여, 무한한 등거리 집합이 존재할 수 없음을 입증한다.
• 재귀적 노름 구성법은 벡터의 노름이 구성 성분들의 노름 합보다 엄격히 작게 만들어지며, 이는 등거리 구성이 불가능하게 한다.
• 이 방법은 1차원 성분들에서의 테렌지의 접근을 고차원 성분들, 특히 1-절대기저를 가진 성분들로 성공적으로 확장하여, 등거리 집합 존재에 대한 새로운 반례를 제공한다.