[논문 리뷰] Examples of metric spaces with asymptotic property $C$

Yan Wu, Jingming Zhu|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의로 큰 순서수적 점근적 차원과 보완 유한 점근적 차원을 갖는 거리공간을 구축하며, 특히 모든 $k ∈ \mathbb{N}$에 대해 두 차원이 모두 $\omega + k$인 공간이 존재하고, $2\omega$인 차원을 갖는 공간도 존재함을 보여준다. 또한 점근적 차원 성장과 순서수적 점근적 차원이 서로 독립적인 불변량임을 입증하기 위해, 한쪽이 다른 쪽보다 빠르게 증가하는 예를 구성함으로써, 순서수적 차원이 고정되어 있을 때조차도 이들 사이의 독립성을 보여준다.

ABSTRACT

We construct a class of metric spaces whose transfinite asymptotic dimension and complementary-finite asymptotic dimension are both $ω+k$ for any $k\in\mathbb{N}$, where $ω$ is the smallest infinite ordinal number and a metric space whose transfinite asymptotic dimension and complementary-finite asymptotic dimension are both $2ω$. Moreover, we study the relationship between asymptotic dimension growth, transfinite asymptotic dimension and finite decomposition complexity.

연구 동기 및 목표

• 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 순서수적 점근적 차원 $\omega + k$를 갖는 거리공간을 구축함으로써, 이전의 무한차원 거리공간 연구를 확장한다.
• 순서수적 점근적 차원 $2\omega$를 갖는 거리공간을 구성함으로써, 중간 무한 차원에 대한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.
• 점근적 차원 성장이 순서수적 점근적 차원 및 유한 분해 복잡도와 독립적인 불변량임을 명시적 반례를 통해 입증한다.
• 모든 유계 증가 함수 $g$에 대해, $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ 이고 모든 $r > 0$에 대해 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) \geq g(r)$를 만족하는 거리공간 $X_{\omega}(g)$가 존재함을 보여준다.
• 유한 분해 복잡도 또는 순서수적 점근적 차원이 유한할 때조차도 점근적 차원 성장이 이들를 제어하지 못함을 입증한다.

제안 방법

• 점근적 차원이 $g(r)$가 되도록 하는 $\tilde{g}(r)$를 선택하여, 스케일링된 정수 격자 $(2^{\tilde{g}(i)}\mathbb{Z})^{g(i)}$의 거칠게 분리된 합집합을 사용하여 $X_{\omega}(g)$를 구성한다.
• 순서수적 점근적 차원은 $\mathcal{D}_\alpha$-분해의 개념을 통해 분석되며, $X_{\omega}(g) \in \mathcal{D}_\omega$ 이지만 모든 유한 $n$에 대해 $\mathcal{D}_n$에 속하지 않음을 보여 $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$임을 유도한다.
• $Y_{2\omega}$는 스케일링된 $X_{\omega}(g)$의 거칠게 분리된 합집합으로 구성되며, 차원을 정밀하게 조절하여 $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2\omega$ 및 $\text{coasdim}(Y_{2\omega}) = 2\omega$를 달성한다.
• 점근적 차원 성장은 $ad_X(r)$의 증가율을 분석하여 추정되며, $\text{trasdim}(X) = \omega$를 유지하면서도 이 성장률을 임의로 크게 만들 수 있음을 보여준다.
• 독립성 결과는 $ad_{X_{\omega}(g)}(r)$와 $ad_{Y_{2\omega}}(r)$를 비교하여 증명되며, 모든 $r > 0$에 대해 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) > ad_{Y_{2\omega}}(r)$이지만 $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2 \cdot \text{trasdim}(X_{\omega}(g))$임을 보여, 점근적 차원 성장과 순서수적 차원 사이의 독립성을 입증한다.
• 증명은 $\ell^\infty$-유형 공간에서의 커버링 추론과 $r$-분리되며 유계인 가중치 집합의 사용에 의존하여, 차원 성장과 순서수적 분해를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 순서수적 점근적 차원 $\omega + k$를 갖는 거리공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 순서수적 점근적 차원 $2\omega$를 갖는 거리공간이 존재하는가? 만약 존재한다면, 이를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 점근적 차원 성장이 순서수적 점근적 차원을 제어하는가, 아니면 이들 사이에 독립적인 불변량인가?
• RQ4 점근적 차원 성장이 무한히 크게 증가할 수 있는가, 그러나 순서수적 점근적 차원이 $\omega$로 유지되는가?
• RQ5 유한 분해 복잡도가 점근적 차원 성장과 독립적인가, 즉 순서수적 차원이 고정되어 있을 때조차도 그렇다면?

주요 결과

• 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해, 그의 순서수적 점근적 차원과 보완 유한 점근적 차원이 모두 정확히 $\omega + k$인 거리공간 $X_{\omega+k}$가 존재한다.
• 순서수적 점근적 차원과 보완 점근적 차원이 모두 $2\omega$인 거리공간 $Y_{2\omega}$가 존재하며, 이는 이러한 공간에 대한 첫 번째 명시적 구성이다.
• 모든 무계 증가 함수 $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{Z}^+$에 대해, $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ 이고 모든 $r > 0$에 대해 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) \geq g(r)$를 만족하는 거리공간 $X_{\omega}(g)$가 존재한다.
• 모든 $r > 0$에 대해 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) > ad_{Y_{2\omega}}(r)$임을 만족하는 거리공간 $X_{\omega}(g)$가 존재하나, $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2 \cdot \text{trasdim}(X_{\omega}(g))$임을 보여, 점근적 차원 성장과 순서수적 차원 사이의 독립성을 입증한다.
• $X_{\omega}(g)$는 $\mathcal{D}_\omega$에 속하지만 모든 유한 $n$에 대해 $\mathcal{D}_n$에 속하지 않으며, 이는 $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$임을 확인하고 $\mathcal{D}_\omega$가 올바른 분해 복잡도 수준을 반영함을 보여준다.
• 결과적으로 점근적 차원 성장과 유한 분해 복잡도가 독립적인 불변량임을 보여주며, 이는 한쪽이 급격히 증가하는 반면 다른 쪽은 유계이거나 느리게 증가하는 예를 구성함으로써 입증된다.