[논문 리뷰] Exceptional and modern intervals of the Tamari lattice

Baptiste Rognerud|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 12.

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한 줄 요약

이 논문은 interval-poset를 사용하여 탐리 마트리스의 두 가지 새로운 간격 가닥을 도입하고 특성화한다: 비정상 간격(비교적 교차하지 않는 나무의 덴드리포르미 작용소에서의 상응하는 이미지이며, 비교적 교차하지 않는 분할과 일대일 대응됨)과 현대/무한 현대 간격(후스-카탈란 수의 삼각 분해를 통해 삼분 트리와 일대일 대응됨).

ABSTRACT

In this article we use the theory of interval-posets recently introduced by Ch{â}tel and Pons in order to describe some interesting families of intervals in the Tamari lattices. These families are defined as interval-posets avoiding specific configurations. At first, we consider what we call exceptional interval-posets and show that they correspond to the intervals which are obtained as images of noncrossing trees in the Dendriform operad. We also show that the exceptional intervals are exactly the intervals of the Tamari lattice induced by intervals in the poset of noncrossing partitions. In the second part we introduce the notion of modern and infinitely modern interval-posets. We show that the modern intervals are in bijection with the new intervals of the Tamari lattice in the sense of Chapoton. We deduce an intrinsic characterization of the new intervals in the Tamari lattice. Finally, we consider the family of what we call infinitely modern intervals and we we prove that there are as many infinitely modern interval-posets of size n as there are ternary trees with n inner vertices.

연구 동기 및 목표

• 특정 구성요소를 피하는 interval-poset를 사용하여 탐리 마트리스의 비정상 간격을 특성화하기.
• 비정상 간격과 비교적 교차하지 않는 분할 간의 연결을 확립하여, 이들이 비교적 교차하지 않는 분할 순서집합의 간격의 상응하는 이미지로 나타남을 보여주기.
• 현대 및 무한 현대 interval-poset를 정의하고 연구하여 탐리 마트리스의 새로운 간격을 특성화하기.
• interval-poset의 상승 연산을 사용하여 탐리 마트리스의 새로운 간격을 내재적으로 특성화하기.
• 크기 $n$인 무한 현대 interval-poset의 수가 $n$개의 내부 정점을 가진 삼분 트리의 수와 같음을 증명하기.

제안 방법

• 탐리 마트리스의 간격을 묘사하기 위해 채틀과 폰스가 도입한 조합적 모델인 interval-poset를 사용한다.
• 크기를 1 증가시키고 증가 관계를 1만큼 이동시키는 interval-poset에 대한 '상승' 연산을 도입하며, 이는 interval-poset의 구조를 유지하기 위한 조건을 포함한다.
• 상승 연산이 다른 유효한 interval-poset를 생성하는 경우를 현대 interval-poset로 정의한다.
• 모든 연속적인 상승이 여전히 유효한 interval-poset를 유지하는 경우를 무한 현대 interval-poset로 정의한다.
• interval-poset에 대한 이중 통계를 사용하여 후스-카탈란 수 $\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$의 삼각 분해를 복원한다.
• 크기 $n$인 interval-poset와 크기 $n+1$인 interval-poset 간의 관계를 맵 $f_{i,k}$를 통해 이분기법과 재귀적 분해를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탐리 마트리스의 어떤 간격들이 덴드리포르미 작용소에서 비교적 교차하지 않는 나무의 상응하는 이미지인가?
• RQ2 interval-poset를 사용하여 탐리 마트리스의 새로운 간격을 어떻게 내재적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 반복적인 상승 연산에 대해 닫혀 있는 interval-poset의 조합적 의미는 무엇인가?
• RQ4 무한 현대 interval-poset와 삼분 트리 사이에 이분기법이 존재하는가?
• RQ5 비정상 간격은 비교적 교차하지 않는 분할 순서집합과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 탐리 마트리스의 비정상 간격은 비교적 교차하지 않는 나무와 비교적 교차하지 않는 분할 순서집합의 간격과 일대일 대응된다.
• 크기 $n$인 탐리 마트리스에서의 비정상 간격의 수는 $\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$이다.
• 현대 interval-poset란 상승 연산이 다른 유효한 interval-poset를 생성하는 것과 정확히 일치하며, 탐리 마트리스의 새로운 간격은 정확히 현대 interval-poset의 상승 결과이다.
• 크기 $n$인 탐리 마트리스에서의 새로운 간격의 수는 $3 \cdot \frac{2^{n-2}(2n-2)!}{(n-1)!(n+1)!}$이다.
• 크기 $n$인 무한 현대 interval-poset의 수는 $n$개의 내부 정점을 가진 삼분 트리와 일대일 대응되며, 그 수는 $\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$이다.
• 무한 현대 interval-poset의 가닥은 아발(2008)이 제시한 후스-카탈란 수의 삼각 분해와 일치하는 재귀관계를 만족한다.