[논문 리뷰] Exceptional points of any order in a generalized Hatano-Nelson model

Julius T. Gohsrich, Jacob Fauman외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 03. 18.

Nonlinear Waves and Solitons인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시스템 크기와 무관하게 임의의 차수의 특이점(EPs)을 실현할 수 있는 장거리 터널링을 포함하는 일반화된 Hatano-Nelson 모델을 제안한다. 일반화된 측기 대칭성과 $(l+r)$-분할 격자 구조를 활용하여, 저자들은 일반적인 터널링 외란과 특정 서브격자에 대한 현저한 온사이트 불순물에 대해 안정된 EPs를 보여주며, 고유상태는 특정 서브격자에 국소화되고 비헤르미트 스카이 효과를 나타낸다.

ABSTRACT

Exceptional points (EPs) are truly non-Hermitian (NH) degeneracies where matrices become defective. The order of such an EP is given by the number of coalescing eigenvectors. On the one hand, most work focuses on studying $N$th-order EPs in $(N\leq4)$-dimensional NH Bloch Hamiltonians. On the other hand, some works have remarked on the existence of EPs of orders scaling with systems size in models exhibiting the NH skin effect. In this work, we introduce a new type of EP and provide a recipe on how to realize EPs of arbitrary order not scaling with system size. We introduce a generalized version of the paradigmatic Hatano-Nelson model with longer-range hoppings. The EPs existing in this system show remarkable physical features: Their associated eigenstates have support on a subset of sites and exhibit the NH skin effect, which can be tuned to localize on the opposite end of the chain compared to all remaining states. Furthermore, the EPs are robust against generic perturbations in the hopping strengths as well as against a specific form of on-site disorder.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 시스템에서 임의의 차수의 비헤르미트 특이점(EPs)을 체계적으로 생성할 수 있는 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 일반적인 단방향 모델에서와 달리 시스템 크기에 따라 증가하지 않는 특이점의 순서를 가지는 특이점의 발생을 탐색하기 위해.
• 일정한 차수의 특이점이 시스템 크기와 무관하게 안정화되는 데 있어 일반화된 측기 대칭성의 역할을 규명하기 위해.
• 특정 서브격자에 적용된 터널링 외란과 온사이트 불순물에 대해 특이점의 안정성을 조사하기 위해.
• 특이점과 관련된 고유상태가 특정 사이트 부분집합에 국소화되어 비헤르미트 스카이 효과를 나타내는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 표준 Hatano-Nelson 모델을 일반화하여 $l$-사이트 왼쪽 및 $r$-사이트 오른쪽 터널링을 포함시키며, $\gcd(l,r) = 1$ 조건을 만족시켜 $(l+r)$-분할 격자 구조를 형성한다.
• 주기적 경계 조건(PBCs)을 적용하여 스펙트럴 워핑과 회전 대칭성을 분석하고, 이로 인해 특이점이 복소 에너지 평면의 중심에 고정됨을 확인한다.
• 열린 경계 조건(OBCs)을 적용하여 비헤르미트 스카이 효과를 관찰하고, 특정 서브격자에 국소화된 고유상태를 확인한다.
• 일반화된 고유벡터를 통해 특이점의 조르당 체인을 구성하고, 외란에 대한 안정성을 분석한다.
• 특정 서브격자에 일반적인 터널링 외란과 온사이트 불순물을 도입하여 특이점의 안정성을 시험한다.
• 전체 해밀토니안 $H_{lr}$의 스펙트럼와 고유벡터를 그 부모 해밀토니안 $\mathcal{H}^{l+r=n}$의 것과 매핑하여 스펙트럼 위상구조를 밝혀낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 크기에 따라 증가하지 않는 비헤르미트 시스템에서 임의의 차수의 특이점이 실현될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 측기 대칭성이 유한한 크기의 시스템에서 고정된 차수의 특이점을 보호하는 방식은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 Hatano-Nelson 모델에서 고차수 특이점과 관련된 고유상태의 공간적 국소화 패턴은 어떠한가?
• RQ4 특정 서브격자에 적용된 일반적인 터널링 외란과 온사이트 불순물에 대해 특이점은 어느 정도 안정적인가?
• RQ5 장거리 터널링을 가진 시스템에서 비헤르미트 스카이 효과와 고차수 특이점은 어떻게 공존하는가?

주요 결과

• 일반화된 Hatano-Nelson 모델은 $m$이 시스템 크기 $N$과 무관하게 임의의 차수의 특이점을 지닌다. 이는 $\gcd(l,r) = 1$ 조건을 만족시키는 $l$과 $r$의 조절을 통해 실현된다.
• 일반화된 측기 대칭성에 의해 복소 에너지 평면의 회전 대칭 중심에 특이점이 위치하며, 이는 특정 시스템 크기에서 특이점 존재를 안정화한다.
• 특이점과 관련된 고유상태는 특정 서브격자에 해당하는 특정 사이트 부분집합에 국소화되어 있으며, 이 국소화는 터널링 강도 변화에 대해 안정하다.
• 일반적인 터널링 외란 하에서도 비헤르미트 스카이 효과가 유지되며, 터널링 비대칭성이 조절될 경우 특이점의 고유상태와 스펙트럼의 나머지 부분이 체인의 양끝에 서로 다른 위치에 국소화된다.
• 특정 서브격자에 온사이트 불순물이 도입될 경우 특이점은 안정하거나 오직 순서가 감소할 뿐이며, 이는 공간적 구조에 의한 위상적 보호를 시사한다.
• 이 모델은 광학 루프 시스템, 토폴로지 전기 회로, 그리고 합성 주파수 차원에서 실험적으로 실현 가능하며, 안정적인 고차수 특이점의 직접 관측이 가능하다.