[논문 리뷰] Exclusion sets in eigenvalue inclusion sets for tensors

Chaoqian Li, Suhua Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 03.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Geršgorin 집합 Γ(𝒜)와 Brauer 유형 집합 𝒦(𝒜)에서 고유값을 포함하지 않는 부분집합을 제거하여 두 개의 새로운 고유값 포함 집합 Ω(𝒜)과 Θ(𝒜)을 제안한다. 주요 기여는 Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) 및 Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜)임을 보여주며, 고유벡터 기반의 제거 기준을 통해 텐서 고유값에 대한 더 견고한 경계를 제공한다.

ABSTRACT

By excluding some sets, which don't include any eigenvalue of a tensor, from some existing eigenvalue inclusion sets, two new sets are given to locate all eigenvalues of a tensor. And it is shown that these two sets are contained in the Geršgorin eigenvalue inclusion set of tensors provide by Qi (Journal of Symbolic Computation 2005; 40:1302-1324) and the Brauer-type eigenvalue inclusion set provide by Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 2014; 21:39-50) respectively. Two sufficient conditions such that the determinant of a tensor is not zero are also provided.

연구 동기 및 목표

• 기존의 텐서 고유값 포함 집합을 향상시키기 위해 고유값을 포함하지 않는 영역을 식별하고 제거하는 것을 목적으로 한다.
• 텐서의 고유값을 포함하지 않는 부분집합을 제거하여 Geršgorin 집합 Γ(𝒜)와 Brauer 유형 집합 𝒦(𝒜)를 정밀화하는 것을 목적으로 한다.
• 각각 Γ(𝒜)와 𝒦(𝒜)에 엄격하게 포함되는 더 견고한 새로운 고유값 포함 집합 Ω(𝒜)과 Θ(𝒜)을 개발하는 것을 목적으로 한다.
• 고유값이 없는 영역을 제거한 조건을 바탕으로 텐서의 행렬식이 0이 아님을 보장하는 충분조건을 제공하는 것.
• 고유벡터의 절댓값과 성분 분석을 활용하여 고차원 텐서에 대한 고유값 국소화 기법의 적용 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• Geršgorin 집합과 Brauer 유형 집합에서 고유값이 없는 영역을 제거하기 위해 제외 집합 Δᵢ(𝒜)와 Λᵢ(𝒜)를 정의한다.
• 고유벡터의 최대 절댓값 성분과 관련된 텐서 방정식을 이용하여 고유값 위치에 대한 경계를 유도한다.
• Δᵢ(𝒜)는 |xₚ|와 |xₜ|를 포함하는 부등식으로 정의된 영역이므로, Γᵢ(𝒜) \ Δᵢ(𝒜)로 정의된 Ωᵢ(𝒜)를 구성함으로써 Geršgorin 원을 정밀화한다.
• Λᵢ(𝒜)는 |λ - aᵢᵢ|, |λ - aₚₚ| 및 계수 aᵢₚ…ₚ를 포함하는 부등식으로 정의된 집합의 합집합이므로, 𝒦ᵢⱼ(𝒜) \ Λᵢ(𝒜)로 정의된 Θᵢⱼ(𝒜)를 구성한다.
• 삼각 부등식과 고유벡터 성분의 성분별 경계를 이용하여 고유값이 존재할 수 없는 영역을 제거하는 조건을 유도한다.
• 고유벡터 성분과 절댓값 비교에 기반한 경우 분석을 통해 Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) 및 Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜)의 포함 관계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Geršgorin 집합 Γ(𝒜)의 어떤 부분집합이 텐서의 고유값을 포함하지 않으며, 이를 체계적으로 제거할 수 있는가?
• RQ2 고유벡터의 구조에 기반한 고유값이 없는 영역을 제거함으로써 Brauer 유형 고유값 포함 집합 𝒦(𝒜)를 더욱 견고하게 만들 수 있는가?
• RQ3 텐서 성분에 어떤 조건이 성립하면 Γ(𝒜) 또는 𝒦(𝒜)의 특정 영역이 고유값을 모두 배제함을 보장하는가?
• RQ4 이러한 영역의 제거가 텐서의 비특이성에 대한 행렬식 기준을 향상시키는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 신규 집합 Ω(𝒜)과 Θ(𝒜)은 기존의 포함 집합에 비해 고유값 국소화 정확도에서 어느 정도 향상되는가?

주요 결과

• Ω(𝒜)는 각 Geršgorin 원 Γᵢ(𝒜)에서 Δᵢ(𝒜)를 제거함으로써 구성되며, 결과적으로 Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜)가 되며, 고유값을 포함할 수 없는 영역을 엄격히 배제한다.
• Θ(𝒜)는 Brauer 유형 집합 𝒦(𝒜)에서 Λᵢ(𝒜)를 제거함으로써 구성되며, 결과적으로 Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜)가 되며, 𝒦(𝒜)보다 더 견고한 포함 영역을 제공한다.
• 임의의 텐서의 고유값 λ에 대해 모든 i에 대해 λ ∉ Λᵢ(𝒜)임을 의미하며, 이는 Λᵢ(𝒜) 집합이 Brauer 유형 포함 집합에 대해 유효한 제외 집합임을 나타낸다.
• 제외 집합 Δᵢ(𝒜)와 Λᵢ(𝒜)는 고유벡터 성분 분석과 |xₜ| 및 |xₚ|를 포함하는 부등식을 기반으로 유도되어, 고유값을 포함하지 않음을 보장한다.
• 보조정리 3은 |aᵢᵢ|, rᵢ(𝒜), 그리고 비대각성분을 포함하는 계수 부등식을 바탕으로 det(𝒜) ≠ 0인 두 가지 충분조건을 제공한다.
• 신규 집합 Ω(𝒜)과 Θ(𝒜)는 각각 Γ(𝒜)와 𝒦(𝒜)에 엄격하게 포함되며, 상호 포함 관계는 반드시 성립하지 않아 상호 보완적인 향상이 있음을 나타낸다.