[논문 리뷰] Exel's crossed product and crossed products by completely positive maps

B. K. Kwaśniewski|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 41인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 완전히 양성 맵을 이용한 C*-대수에 대한 일반화된 교차곱 구성법을 제안하며, Exel의 교차곱과 내형사상에 의한 Cuntz형 교차곱을 통합한다. Exel의 교차곱 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ 이 $ \alpha(A) $ 에 대한 전이 연산자 $ \mathcal{L} $ 에 대한 교차곱과 동치임을 증명하고, 어떤 기저 내형사상이 없더라도 무한 그래프의 C*-대수는 페로-프로베니우스 연산자에 의한 교차곱으로 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce crossed products of a $C^*$-algebra $A$ by a completely positive map $\varrho:A o A$ relative to an ideal in $A$. They generalize various crossed products by endomorphisms when $\varrho$ is multiplicative. When $A$ is commutative they include $C^*$-algebras associated to Markov operators by Ionescu, Muhly, Vega, and to topological relations by Brenken, but in general they are not modeled by topological quivers popularized by Muhly and Tomforde. We show that Exel's crossed product $A times_{α,L} \mathbb{N}$, generalized to the case where $A$ is not necessarily unital, is the crossed product of $A$ by the transfer operator $L$ relative to the ideal generated by $α(A)$. We give natural conditions under which $α(A)$ is uniquely determined by $L$, and hence $A times_{α,L} \mathbb{N}$ depends only on $L$. Moreover, the $C^*$-algebra $\mathcal{O}(A,α,L)$ associated to $(A,α,L)$ by Exel and Royer always coincides with our unrelative crossed product by $L$. As another non-trivial application of our construction we extend a result of Brownlowe, Raeburn and Vittadello, by showing that the $C^*$-algebra of an arbitrary infinite graph $E$ can be realized as a crossed product of the diagonal algebra $\mathcal{D}_E$ by a `Perron-Frobenious' operator $L$. The important difference is that in general there is no endomorphism $α$ of $\mathcal{D}_E$ making $(\mathcal{D}_E,α,L)$ an Exel system.

연구 동기 및 목표

• 내형사상에 의한 교차곱 이론(예: Cuntz형)과 전이 연산자에 의한 교차곱 이론(예: Exel형)을 통합하기 위해.
• Exel의 교차곱을 비단위 C*-대수로 일반화하고, 이가 내형사상의 상에 대한 전이 연산자에 의한 교차곱임을 보여주기 위해.
• 무한 그래프의 C*-대수가 내재된 내형사상이 없더라도 그 대각대수에 대한 페로-프로베니우스 연산자에 의한 교차곱으로 표현될 수 있음을 보여주기 위해.
• Exel 시스템과 새로운 교차곱 구성법 사이의 관계를 명확히 하기 위해, 전이 연산자가 내형사상을 유일하게 결정하는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• C*-대수 $ A $ 와 완전히 양성 맵 $ \varrho $ 에 대해 이상 $ J \subseteq A $ 에 대한 상대적 교차곱 $ C^*(A, \varrho; J) $ 를 도입한다.
• 비상대적 교차곱을 $ C^*(A, \varrho) = C^*(A, \varrho; N_\varrho^\perp) $ 로 정의하며, 여기서 $ N_\varrho $ 는 $ \ker \varrho $ 에 속하는 최대 이상이다.
• 약한 조건 하에서 Exel의 교차곱 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ 이 $ \mathcal{L} $ 에 의한 $ \alpha(A) $ 에 대한 교차곱과 일치함을 보인다.
• 다이아몬드 대수 $ \mathcal{D}_E $ 와 전이 연산자 $ \mathcal{L} $ 에 대해, $ u_\lambda = \sum_{e} \sqrt{\lambda_e} s_e $ 를 이용해 $ (\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ 의 엄밀한 수렴형 승수 표현 $ (\mathrm{id}, u_\lambda) $ 을 구성함으로써 그래프 대수를 교차곱으로 표현한다.
• 코바리언스 조건 $ N_\mathcal{L}^\perp \cap J(X_\mathcal{L}) \subseteq \overline{\mathcal{D}_E u_\lambda \mathcal{D}_E u_\lambda^*} $ 를 사용하여 $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ 에서 $ C^*(E) $ 로의 $^*$-준동형사를 수립한다.
• 가환 작용과 교차곱 구성의 유일성에 의해 이 준동형사가 동형사임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Exel의 교차곱 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ 은 이상 $ \alpha(A) $ 에 대한 완전히 양성 맵 $ \mathcal{L} $ 에 의한 교차곱으로 특징지을 수 있는가?
• RQ2 내형사상 $ \alpha $ 는 어떤 조건에서 전이 연산자 $ \mathcal{L} $ 에 의해 유일하게 결정되는가?
• RQ3 임의의 무한 그래프의 C*-대수는 기저 내형사상이 없더라도 그 대각대수에 대한 전이 연산자에 의한 교차곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 새로운 교차곱 구성법은 상대 Cuntz-Pimsner 대수나 완전히 양성 맵에 의한 Schweizer의 교차곱과 같은 기존 프레임워크와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Exel의 교차곱 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ 은 이상 $ \alpha(A) $ 에 대한 전이 연산자 $ \mathcal{L} $ 에 의한 교차곱과 동형이며, 비단위 대수로 일반화된 결과이다.
• Exel과 Royer의 $ C^* $-대수 $ \mathcal{O}(A,\alpha,\mathcal{L}) $ 는 비상대적 교차곱 $ C^*(A,\mathcal{L}) $ 과 일치하며, 이는 이전의 구성과의 일관성을 보여준다.
• 모든 무한 그래프 $ E $ 에 대해, 그래프 $ C^* $-대수 $ C^*(E) $ 는 $ \mathcal{L} $ 이 $ \mathcal{L}(a) = u_\lambda a u_\lambda^* $ 로 정의된 페로-프로베니우스 연산자일 때 $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ 과 동형이며, 이는 내형사상 $ \alpha $ 가 존재하지 않더라도 성립한다.
• 이상 $ N_\mathcal{L}^\perp \cap J(X_\mathcal{L}) $ 는 $ \alpha(\mathcal{D}_E)\mathcal{D}_E $ 와 같으며, 이는 코바리언스 조건이 정확히 $ \mathcal{L} $ 가 정규 전이 연산자일 때 성립함을 보여준다.
• 그래프 $ E $ 가 무한 발산자를 갖지 않으면, 연산자 $ u_\lambda = \sum_e \sqrt{\lambda_e} s_e $ 는 노름 수렴하며, 교차곱 $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ 는 $ C^*(E) $ 와 사상 $ a \mapsto a $, $ as \mapsto a u_\lambda $ 에 의해 동형이다.
• 내형사상 $ \alpha $ 가 $ (\mathcal{D}_E, \alpha, \mathcal{L}) $ 가 Exel 시스템이 되게 한다면, $ \alpha(a) = \sum_e s_e a s_e^* $ 이고, $ E $ 는 국소 유한성과 근원이 없음을 가져야 한다.