[논문 리뷰] Exhausting families of representations and spectra of pseudodifferential operators

Victor Nistor, Nicolas Prudhon|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수에 대한 '소진적 표현 가중치'의 개념을 도입하여, 이러한 가중치가 역행렬 가능성과 스펙트럼을 표현의 스펙트럼의 합집합을 통해 특징짓는다는 것을 증명한다. 주요 기여는 C*-대수의 원소가 역행렬 가능할 조건이 그 가중치에 속한 모든 표현에서의 이미지가 역행렬 가능할 때이고, 이는 다각형의 경계를 가진 다양체와 군oids 대수에서의 의사미분 연산자의 스펙트럼 이론 및 프레드홀름 이론을 일반화한다.

ABSTRACT

Families of representations of suitable Banach algebras provide a powerful tool in the study of the spectral theory of (pseudo)differential operators and of their Fredholmness. We introduce the new concept of an exhausting family of representations of a C*-algebra A. An {\em exhausting family} of representations of a C*-algebra A is a set F of representations of A with the property that every irreducible representation of A is weakly contained in some ϕ\in F. An exhausting family F of representations of A has the property that `"a \in A is invertible if, and if, ϕ(a) is invertible for any ϕ\in F." Consequently, the spectrum of a is given by \Spec(a) = \cup_{ϕ\in F} \Spec(ϕ(a)). In other words, every exhausting family of representations is invertibility sufficient, a concept introduced by Roch in 2003. We prove several properties of exhausting families and we provide necessary and sufficient conditions for a family of representations to be exhausting. Using results of Ionescu and Williams (2009), we show that the regular representations of amenable, second countable, locally compact groupoids with a Haar system form an exhausting family of representations. If $A$ is a separable C*-algebra, we show that a family F of representations of $A$ is exhausting if, and only if, it is invertibility sufficient. However, this result is not true, in general, for non-separable C*-algebras. With an eye towards applications, we extend our results to the case of unbounded operators. A typical application of our results is to parametric families of differential operators arising in the analysis on manifolds with corners, in which case we recover the fact that a parametric operator F is invertible if, and only if, its Mellin transform is invertible. In view of possible applications, we have tried to make this paper accessible to non-specialists in C*-algebras.

연구 동기 및 목표

• 의사미분 연산자의 스펙트럼 및 프레드홀름 성질을 분석하기 위한 표현 이론적 프레임워크를 개발한다.
• 연산자의 본질적 스펙트럼이 그 관련 표현의 스펙트럼의 합집합의 폐쇄와 같을 조건을 명확히 하여, 폐쇄가 필요한지 여부에 대한 애매함을 해결한다.
• 소진적 표현 가중치의 조건을 설정하여, 이 가중치가 약한 닫힘에서 모든 기약 표현을 포괄하고 역행렬 가능성을 결정한다는 것을 보장한다.
• 비유계 연산자 및 매개변수 가중치 가중치로의 이론 확장을 다각형의 경계를 가진 다양체의 맥락에서 수행한다.
• Roch의 '역행렬 가능성을 충분히 만족하는 가중치'를 일반화하고, 분리 가능한 경우에 소진적 가중치와 동치임을 보인다.

제안 방법

• C*-대수 A의 *-표현 집합으로서 '소진적 표현 가중치'의 개념을 도입하여, 모든 기약 표현이 가중치의 일부에 약한 포함 관계를 갖는다.
• 소진적 가중치가 역행렬 가능성을 충분히 만족함을 증명한다: A의 원소 a가 역행렬 가능할 조건은 가중치의 모든 φ에 대해 φ(a)가 역행렬 가능할 때다.
• 소진적 가중치에서의 스펙트럼이 원소 a의 스펙트럼과 일치함을 보장한다: Spec(a) = ∪φ∈F Spec(φ(a)).
• Ionescu와 Williams의 결과를 활용하여, 하르 체계를 갖는 아벨, 두 번 가산, 국소 콪수 군oids의 정규 표현이 소진적 가중치를 이룬다.
• 비유계 연산자로의 프레임워크 확장을 위해 '추상적 소속된 연산자'의 개념을 도입하고, 매개변수 가중치 의사미분 연산자에 적용한다.
• 다각형의 경계를 가진 다양체에서 매개변수 가중치 가중치 P(λ)에 이 те올을 적용하여, P가 역행렬 가능할 조건은 모든 λ ∈ ℝⁿ 에 대해 그 멜린 변환 P̂(λ)가 역행렬 가능할 때임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 의사미분 연산자의 본질적 스펙트럼이 그 관련 표현의 스펙트럼의 합집합의 폐쇄와 같을 조건은 언제이며, 폐쇄가 중복되는 경우는 언제인가?
• RQ2 C*-대수의 표현 가중치가 '소진적'일 조건은 무엇인가? 즉, 모든 기약 표현을 약한 닫힘에서 포괄하고 역행렬 가능성을 결정할 수 있는가?
• RQ3 소진적 가중치와 '역행렬 가능성을 충분히 만족하는 가중치'가 동치일 조건은 무엇이며, 이 동치성은 비분리 가능한 C*-대수에서도 성립하는가?
• RQ4 소진적 가중치 이론은 비유계 연산자 및 미분 연산자의 매개변수 가중치 가중치로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 다각형의 경계를 가진 다양체에서 의사미분 연산자의 스펙트럼 및 프레드홀름 성질은 멜린 변환과 표현 이론을 통해 특징지어질 수 있는가?

주요 결과

• C*-대수 A의 소진적 표현 가중치는 원소 a ∈ A가 가중치의 모든 φ에 대해 φ(a)가 역행렬 가능할 때에만 역행렬 가능하다.
• C*-대수 A의 원소 a의 스펙트럼은 소진적 가중치에 속한 모든 표현에서의 이미지 스펙트럼의 합집합과 같다: Spec(a) = ∪φ∈F Spec(φ(a)).
• 분리 가능한 C*-대수의 경우, 표현 가중치가 소진적일 조건은 그 가중치가 역행렬 가능성을 충분히 만족할 조건과 동치이다. 그러나 비분리 가능한 C*-대수에서는 일반적으로 이 동치성이 성립하지 않는다.
• 하르 체계를 갖는 아벨, 두 번 가산, 국소 콱수 군oids의 정규 표현은 소진적 표현 가중치를 이룬다.
• 다각형의 경계를 가진 다양체 위의 매개변수 의사미분 연산자 P에 대해, P가 역행렬 가능할 조건은 모든 λ ∈ ℝⁿ 에 대해 멜린 변환 P̂(λ)가 역행렬 가능할 때다.
• 순서 m > 0인 형식적으로 자기수반이고 타원형인 연산자 T가 M × ℝⁿ 에서 정의될 때, T의 스펙트럼은 그 멜린 변환의 스펙트럼의 합집합과 같다: Spec(T) = ∪λ∈ℝⁿ Spec(̂T(λ)).