[논문 리뷰] Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane

Michaël Rao|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 01.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 3인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 371개의 가능한 각 조건 가족에 대해 체계적인 백트래킹 알고리즘을 사용하여 유클리드 평면을 덮는 모든 볼록 오각형의 완전한 열거를 제시한다. 이는 오직 알려진 15개의 볼록 오각형 타일링 가족만 존재하며, 비정기적 타일링으로만 가능한 볼록 다각형은 존재하지 않는다는 것을 확실히 증명한다.

ABSTRACT

We present an exhaustive search of all families of convex pentagons which tile the plane. This research shows that there are no more than the already 15 known families. In particular, this implies that there is no convex polygon which allows only non-periodic tilings.

연구 동기 및 목표

• 어떤 볼록 오각형이 비정기적인 방식으로만 평면을 타일링할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 유클리드 평면을 타일링하는 모든 볼록 오각형 가족을 체계적으로 분류하는 것.
• 15개의 알려진 오각형 타일링 가족을 초과하는 가족이 존재하는지 여부에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하는 것.
• 다른 15개의 알려진 오각형 가족 외에 어떤 볼록 다각형도 평면을 타일링할 수 없다는 것을 입증하는 것.
• 모든 볼록 오각형 타일링이 양의 밀도를 가진 정점 유형을 가져야 하며, 이는 알고리즘적 열거를 가능하게 한다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 연구는 기하학적 일관성을 확보하기 위해 Vc(s) · α = 2 를 만족하는 수정된 벡터 유형(Vc(s))을 사용하여 정점 유형을 정의한다.
• 모든 타일링에서 양의 밀도를 가질 수 있는 정점 유형 집합은 유한함을 증명하여 검색 공간을 제한한다.
• 371개의 각 조건 가족 각각에 대해 가능한 모든 타일링을 탐색하기 위해 백트래킹 알고리즘을 사용한다.
• 복소수 항등식을 사용하여 기하학적 실현 가능성을 검증한다: ∑ℓi·exp(s(α)i·π·i) = 0, 여기서 s(α)i = (i−1)−∑j<i αj.
• 특수한 경우(24종류)는 유리 다면체 위에서 사인과余현의 범위에 대한 대수적 검사를 통해 식별하고 제거한다.
• 동일한 정점들을 통합하고 타일링 그래프의 압축 표현을 사용하여 검색을 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정기적인 방식으로만 평면을 타일링하는 볼록 오각형이 존재하는가?
• RQ2 유클리드 평면을 타일링할 수 있는 볼록 오각형의 서로 다른 가족은 몇 개인가?
• RQ3 모든 타일링 오각형의 집합을 체계적으로 열거할 수 있는가?
• RQ4 기존의 15개의 알려진 가족 외에 새로운 볼록 오각형 타일링 가족이 존재하는가?
• RQ5 볼록 오각형이 평면을 타일링하기 위해 필요한 각도와 변 길이의 조건은 무엇이며, 그것이 충분한가?

주요 결과

• 포괄적인 검색을 통해 오직 알려진 15개의 볼록 오각형 가족만 평면을 타일링할 수 있음이 확인되었다.
• 기존에 알려진 15개의 가족 외에 새로운 볼록 오각형 타일링 가족은 발견되지 않았다.
• 24개의 특수한 경우(20–24)는 모두 기하학적 실현 가능성 조건 ∑ℓi·exp(s(α)i·π·i) = 0 를 만족하는 해가 없음을 발견했다.
• 유형 16–19는 새로운 독립적인 가족이 아니라 기존의 15개 가족의 특수한 경우에 불과하다.
• 이 연구는 모든 비정기적 타일링이 양의 밀도 정점 유형을 포함해야 하므로, 비정기적 타일링 전용의 볼록 다각형은 존재하지 않음을 증명했다.
• 모든 371개의 각 조건 가족을 검토한 후 알고리즘이 성공적으로 종료되어 완전성이 확인되었다.