[논문 리뷰] Existence and approximation of fixed points of vicinal mappings in geodesic spaces

Fumiaki Kohsaka|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 19.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 곡률 상한이 1인 지오데식 거리 공간에서 연접 및 강력 연접 사상의 개념을 도입하며, 거리가 π/2 미만인 완비 CAT(1) 공간에서 고정점의 존재성과 수렴성 정리를 확립한다. 주요 기여는 강력 연접 사상—예를 들어 볼록 함수의 해석자—이 반복 수열의 Δ수렴을 최소화자로 보장함으로써, 비힐베르트 공간에서도 새로운 고정점 이론과 최적화 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose the concepts of vicinal mappings and firmly vicinal mappings in metric spaces. We obtain fixed point and convergence theorems for these mappings in complete geodesic spaces with curvature bounded above by one and apply our results to convex optimization in such spaces.

연구 동기 및 목표

• 곡률 상한이 1인 거리 공간에서 연접 및 강력 연접 사상의 정의와 성질을 연구한다.
• 직경이 π/2 미만인 완비 CAT(1) 공간에서 이러한 사상의 고정점 존재 정리를 수립한다.
• 강력 연접 사상에 의해 생성된 반복 수열의 Δ수렴성을 증명한다.
• 해석자(resolvent)가 강력 연접임을 보이고, 따라서 최소화자로 수렴함을 보여 최적화 이론을 볼록 함수에 적용한다.
• 하단드 공간(CAT(0))에서의 고정점 및 최적화 이론을 직경이 유계인 CAT(1) 공간으로 일반화한다.

제안 방법

• 임의의 두 점 사이의 거리가 ≤ π/2인 거리 공간에서, 사상의 상으로부터의 거리에 대한余弦 부등식을 통해 연접 사상을 정의한다.
• 강력 연접 사상은 힐베르트 공간에서의 강력 비확장성의 일반화인 더 정밀한 부등식을 만족하는 더 강력한 변종으로 정의한다.
• 단위 구면과의 비교 원리를 활용하여 CAT(1) 공간의 기하적 구조를 이용해 고정점 존재성 및 수렴성 결과를 도출한다.
• CAT(1) 공간에서 볼록 함수의 해석자에 대해 이론을 적용하여, $ R_f x = \text{argmin}_y \big\bracevert f(y) + \tan d(y,x) \tan d(y,x) \big\bracevert $ 로 정의된 $ R_f $ 가 강력 연접임을 보인다.
• 거리 공간에서의 Δ수렴 개념을 활용하고, 사상 $ T $ 에 의한 반복 $ T^n x $ 의 渐近적 행동을 분석한다.
• θ > 0 인 일반적인 $ \text{CAT}(\theta) $ 공간으로 결과를 확장하며, 거리 척도를 θ로 조정하여 $ \theta $-연접 및 강력 $ \theta $-연접 사상을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직경이 π/2 미만인 완비 CAT(1) 공간에서 연접 사상이 고정점을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 강력 연접 사상에 의해 생성된 반복 수열이 이러한 공간에서 Δ수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ3 CAT(1) 공간에서 볼록 함수의 해석자와 새로 정의된 강력 연접 사상 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 기하적 곡률 상한(CAT(1))과 프록시멀 유형 알고리즘의 수렴 행동 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 하단드 공간에서의 비확장 사상에 대한 고정점 이론을 직경 유계 조건 하에 CAT(1) 공간으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 직경이 π/2 미만인 완비 CAT(1) 공간에서, 궤도의 직경이 $ \frac{\theta}{2} $ 이하이고 $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $ 를 만족하는 점 $ x $ 가 존재하면, 임의의 연접 사상 $ T $ 는 고정점을 가진다. 여기서 $ \theta = \frac{\theta}{2} $ 이며, 궤도가 구면적으로 유계임을 보장한다.
• 직경이 $ \frac{\theta}{2} $ 이하인 완비 CAT(1) 공간에서 강력 연접 사상 $ T $ 에 대해, 모든 $ x \notin \text{Fix}(T) $ 에 대해 수열 $ \big\bracevert T^n x \big\bracevert $ 은 고정점으로 Δ수렴한다. 이는 궤도가 구면적으로 유계일 경우에 성립한다.
• 직경이 $ \frac{\theta}{2} $ 이하인 완비 CAT(1) 공간에서, 적절하고 하향 연속적인 볼록 함수 $ f $ 의 해석자 $ R_f $ 는 강력 연접이며, 따라서 $ R_f $-반복 수열은 $ f $ 의 최소화자로 Δ수렴한다.
• 함수 $ f $ 의 최소화자 집합이 비어 있지 않음과 동시에, $ \big\bracevert R_f^n x \big\bracevert $ 가 구면적으로 유계이고 $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $ 를 만족하는 $ x \notin \text{Fix}(R_f) $ 가 존재하는 것은 동치이다.
• θ > 0 인 $ \text{CAT}(\theta) $ 공간에서는 거리 척도를 θ로 조정함으로써 고정점 및 Δ수렴 결과를 일반화하며, 이로 인해 $ \theta $-연접 및 강력 $ \theta $-연접 사상에 대해 유사한 존재성 및 수렴 정리가 유도된다.
• 이러한 공간에서 강력 연접 사상의 고정점 집합이 비어 있지 않음과 동시에 어떤 점의 궤도가 구면적으로 유계이고 단계 크기가 수렴 반경 내에 유지되는 것은 동치이다.