[논문 리뷰] Existence and asymptotic behaviour of solutions for a quasi-linear schrodinger-poisson system under a critical nonlinearity

Giovany M. Figueiredo, Gaetano Siciliano|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 17.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^3$에서 임계 비선형성을 갖는 비선형 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대한 해의 존재성을 변분 방법과 농도-콤���트성 기법을 사용하여 증명한다. $λ > λ^*$이면 모든 $ϵ > 0$에 대해 해가 존재하며, $ϵ \to 0^+$일 때 이러한 해는 표준 슈뢰딩거-포아송 시스템의 해로 수렴함을 보이며, 임계 성장 조건 하에서 점근적 안정성을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the following quasilinear Schrödinger-Poisson system $$ \left\{ \begin{array}[c]{ll} - Δu +u+ϕu = λf(x,u)+|u|^{2^{*}-2}u &\ \mbox{in } \mathbb{R}^{3} \\ -Δϕ-\varepsilon^{4} Δ_4 ϕ= u^{2} & \ \mbox{in } \mathbb{R}^{3}, \end{array} ight. $$ depending on the two parameters $λ,\varepsilon>0$. We first prove that, for $λ$ larger then a certain $λ^{*}>0$, there exists a solution for every $\varepsilon>0$. Later, we study the asymptotic behaviour of these solutions whenever $\varepsilon$ tends to zero, and we prove that they converge to the solution of the Schrödinger-Poisson system associated.

연구 동기 및 목표

• 4-라플라스 연산자에 의해 제어되는 비국소 전기적 포텐셜 하에서 $ℝ^3$에서 임계 성장 조건을 갖는 비선형 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대한 비자명한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 파arameter $ϵ \to 0^+$일 때 해의 점근적 행동을 분석하여, 시스템이 고전적 슈뢰딩거-포아송 시스템으로 축소되는 극한 경우를 고려하는 것.
• 해가 $H^1(\mathbb{R}^3)$와 관련된 포텐셜 공간 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$에서 강한 수렴을 보이며, 포텐셜 항 $ϵ \phi_\varepsilon$가 $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$에서 0으로 수렴함을 증명하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수의 임계점을 찾기 위해 변분 방법을 사용하였으며, 산맥 정리와 농도-콤팩트성 원리를 적용하였다.
• 스chrödinger 방정식에 비선형 포아송 방정식 $-\Delta\phi - \u03f5^4\Delta_4\phi = u^2$의 해인 $φ_\u03f5(u)$를 대입하여 시스템을 재구성하였다.
• 비선형성 $f(x,u)$와 임계 항 $|u|^{2^*-2}u$에 대해 잘라내기 기법을 적용하여 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 콤팩트성 추론을 가능하게 하였다.
• 해의 $ϵ \to 0^+$ 수렴을 분석하기 위해 $φ_\u03f5(u_\u03f5)$가 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$에서 강한 수렴함과 동시에 $ϵ\phi_\u03f5(u_\u03f5) \to 0$이 $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$에서 성립함을 증명하였다.
• 4-라플라스 방정식의 해가 양수임을 이용한 부트스트랩 추론 기반으로 해에 대한 사전 $L^\infty$ 유계성을 확립하였다.
• 해의 증명은 $H^1$에서의 약한 수렴, $p \in [2,6)$에 대해 $L^p$에서의 강한 수렴, 그리고 컴팩트 지지 함수를 사용한 테스트 함수를 통한 약한 형태에서의 극한 취득에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ϵ > 0$에 대해 비선형 슈뢰딩거-포아송 시스템이 비자명한 해를 갖는 $λ > 0$의 값은 무엇인가?
• RQ2 해의 점근적 행동은 $ϵ \to 0^+$일 때 어떻게 되며, 고전적 슈뢰딩거-포아송 시스템의 해로 수렴하는가?
• RQ3 에너지 함수가 임계 성장 조건에서 팔라이-스미스 조건을 만족하는가? 이는 변분 방법의 적용 가능성을 보장한다.

주요 결과

• 모든 $λ > \lambda^*$에 대해, 모든 $ϵ > 0$에 대해 비선형 슈뢰딩거-포아송 시스템에 비자명한 해 $u_{\lambda,\varepsilon}$가 존재함을 산맥 정리를 통해 증명하였다.
• $\u03f5 \to 0^+$일 때, 해 $u_{\lambda,\varepsilon}$는 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 비자명한 해 $u_{\lambda,0}$로 강한 수렴을 보였다.
• $\phi_\varepsilon(u_{\lambda,\varepsilon})$는 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$에서 $\phi_0(u_{\lambda,0})$로 수렴하고, $\varepsilon\phi_\varepsilon(u_{\lambda,\varepsilon}) \to 0$은 $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$에서 성립하여 극한 시스템이 잘 정의됨을 확인하였다.
• 산맥 에너지 수준 $c_{\lambda,\varepsilon}$는 $\u03f5 \to 0^+$일 때 $c_{\lambda,0}$로 수렴하며, 이는 편미분에 의한 비율 수준의 안정성을 나타낸다.
• 초임계적 경우($p > 2^*$)에서는 해에 대해 균일한 $L^\infty$ 유계성이 확립되었으며, 이는 충분히 큰 $\lambda$에 대해 원래 시스템의 해로 수렴함을 보장한다.
• 해 $u_{\lambda,\varepsilon}$가 $\u03f5$에 대해 독립적으로 양수이자 유계임을 증명하였으며, 이는 비선형 포아송 방정식의 해가 양수임을 이용한 것이다: $-\Delta\phi - \varepsilon^4\Delta_4\phi = u^2$.