[논문 리뷰] Existence and Blowup Behavior of Global Strong Solutions to the Two-Dimensional Baratropic Compressible Navier-Stokes System with Vacuum and Large Initial Data

Xiangdi Huang, Jing Li|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 24.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 17인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 밀도가 0일 수 있는 진공 조건과 큰 초기 자료를 가진 2차원 압축성 나비에-스토크스 방정식의 강한 해에 대해 전역 존재성과 장기적인 거동를 입증한다. 이는 비압축성 점성계수 $\lambda = \rho^\beta$ 이며 $\beta > 4/3$ 인 조건에서 이루어지며, 이는 이전 결과에서 요구하던 $\beta > 3$ 조건을 개선한 것이다. 밀도에 대한 시간에 관계없이 일정한 상한을 도출하고, 해가 시간이 지남에 따라 일정 상태로 수렴함을 보였다.

ABSTRACT

For periodic initial data with initial density allowed to vanish, we establish the global existence of strong and weak solutions for the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations with no restrictions on the size of initial data provided the bulk viscosity coefficient is $λ= ρ^β$ with $β>4/3$. These results generalize and improve the previous ones due to Vaigant-Kazhikhov([Sib. Math. J. (1995), 36(6), 1283-1316]) which requires $β>3$. Moreover, both the uniform upper bound of the density and the large-time behavior of the strong and weak solutions are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 진공과 큰 초기 자료를 가진 2차원 비압축성 바로트로피 압축성 나비에-스토크스 시스템에 대해 전역 강한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 비압축성 점성계수의 지수 $\beta$ 에 대한 조건을 이전 결과에서 요구하던 $\beta > 3$ 에서 $\beta > 4/3$ 으로 완화하는 것.
• $\beta > 3/2$ 이고 $1 < \gamma < 3(\beta - 1)$ 인 조건 하에서, 해에 대해 시간에 관계없이 일정한 밀도 상한을 도출하는 것.
• 강한 해와 약한 해의 장기적 거동을 분석하여 일정 상태로 수렴하는 것을 보이는 것.
• 초기 밀도가 0에 수렴하고 초기 에너지가 큰 경우에도 전역 강한 해 이론의 적용 가능성을 확장하는 것.

제안 방법

• 진공이 존재하는 상황에서 해의 성장 양상을 제어하기 위해 에너지 추정과 가중치가 부여된 $L^p$-노름을 활용한다.
• 해를 근사하기 위해 매개변수 $\delta$ 를 사용해 시스템을 정규화하는 방법을 적용한다. 이로써 근사해 $\rho^\delta, u^\delta$ 를 구성한다.
• 밀도와 압력의 운반 방정식을 적용하여 $P(\rho) - \overline{P(\rho)}$ 의 $L^2$-노름에 대한 추정을 도출한다.
• 소용돌이도 $\omega = \partial_1 u^2 - \partial_2 u^1$ 와 응력 텐서 $G$ 를 사용해 속도 구배를 제어한다.
• 그로워랄드 유형의 부등식을 통해 시간에 관계없이 $\|P(\rho) - \overline{P}\|_{L^2}$, $\|G\|_{L^2}$, $\|\omega\|_{L^2}$ 에 대한 균일한 상한을 확립한다.
• 콤���턴스 추론과 약한 수렴을 적용하여 $\delta \to 0$ 일 때의 극한을 취함으로써 전역 강한 해를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진공과 큰 초기 자료를 가진 2차원 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대해 $\beta > 4/3$ 인 경우 전역 강한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 진공과 큰 초기 자료가 존재할 때 밀도 및 속도 장의 장기적 거동는 어떠한가?
• RQ3 비압축성 점성계수의 지수 $\beta$ 를 완화한 조건 하에서 전역 강한 해에 대해 밀도에 대한 균일한 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 압력 변동, 소용돌이도, 응력 텐서의 $L^2$-노름이 장기적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ5 주어진 조건 하에서 $t \to \infty$ 일 때 해가 일정한 평형 상태로 수렴하는가?

주요 결과

• 진공과 큰 초기 자료를 가진 2차원 압축성 나비에-스토크스 시스템에 대해 $\beta > 4/3$ 인 경우 전역 강한 해가 존재한다.
• $\beta > 3/2$ 이고 $1 < \gamma < 3(\beta - 1)$ 인 조건 하에서 시간에 관계없이 일정한 밀도 상한이 확립되며, 이 상한은 시간에 의존하지 않는다.
• 모든 $p \in [1, \infty)$ 에 대해 $\lim_{t \to \infty} \|\rho(\cdot,t) - \bar{\rho}_0\|_{L^p} = 0$ 이 성립하여, 초기 평균 밀도로 수렴함을 나타낸다.
• 압력 변동 $P(\rho) - \overline{P}$, 소용돌이도 $\omega$, 응력 텐서 $G$ 의 $L^2$-노름 모두 $t \to \infty$ 일 때 0으로 수렴한다.
• 속도 구배 $\nabla u$ 는 $\lim_{t \to \infty} \|\nabla u\|_{L^2} = 0$ 을 만족하여 시간이 지남에 따라 속도 구배가 감소함을 나타낸다.
• $t \to \infty$ 일 때 압력 $P(\rho)$ 는 $L^2$-노름에서 상수 상태 $\rho_s^\gamma$ 로 수렴하며, 여기서 $\rho_s$ 는 평균 압력의 극한이다.