[논문 리뷰] Existence and concentration of ground state solutions for a critical nonlocal Schrödinger equation in $\R^2$

Claudianor O. Alves, Daniele Cassani외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 28인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{R}^2 $에서 비국소적 슈뢰딩거 방정식의 임계 비선형성과 임계 지수 성장(Trudinger-Moser 의미에서)을 갖는 특이하게 섭동된 매개변수 $\varepsilon$를 고려할 때, 지상 상태 해의 존재성과 집중성을 확립한다. 변분 방법과 집중-콤팩트성 추론을 사용하여, 비선형성과 잠재력 함수에 적절한 가정 하에 $\varepsilon \to 0$일 때 해가 잠재력 $V(x)$의 최소점에 집중됨을 증명한다.

ABSTRACT

We study the following singularly perturbed nonlocal Schrödinger equation $$ -\vr^2Δu +V(x)u =\vr^{μ-2}\Big[\frac{1}{|x|^μ}\ast F(u)\Big]f(u) \quad \mbox{in} \quad \R^2, $$ where $V(x)$ is a continuous real function on $\R^2$, $F(s)$ is the primitive of $f(s)$, $0

연구 동기 및 목표

• 비국소적 슈뢰딩거 방정식의 지상 상태 해의 존재성을 $\mathbb{R}^2$에서 $\varepsilon$-의존 비선형성과 임계 지수 성장 조건 하에 확립하기.
• 섭동 매개변수 $\varepsilon \to 0$일 때 이러한 해의 집중 행동을 분석하기.
• 두 차원 Trudinger-Moser 설정에서 임계 성장을 갖는 비국소 방정식에 변분 방법을 확장하기.
• 반지름의 최소점에서 해가 양자역학적 한계에서 집중됨을 증명하기.

제안 방법

• 비국소적 슈뢰딩거 방정식과 관련된 에너지 함수를 최소화하기 위해 변분 방법이 사용된다.
• 임계 비선형성은 두 차원에서 지수 성장을 제어하는 Trudinger-Moser 부등식을 사용하여 다루어진다.
• 최소화 수열의 행동을 제어하고 콤팩트성을 확보하기 위해 페널티 기법이 사용된다.
• 집중-콤팩트성 추론과 Moser 유형의 추정이 해의 $L^\infty$ 노름을 제어하기 위해 적용된다.
• 변수 변환 $v = u(\cdot / \varepsilon)$을 사용하여 특이하게 섭동된 문제를 $\mathbb{R}^2$에서 고정된 문제로 변환하여 $\varepsilon \to 0$일 때의 극한 분석을 용이하게 한다.
• 해의 수열이 유계이고 균일 수렴함을 바탕으로 증명되며, 해의 최대점은 $V(x)$의 최소점으로 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 슈뢰딩거 방정식이 $\mathbb{R}^2$에서 $\varepsilon$-의존 비선형성과 임계 지수 성장을 갖는 경우 지상 상태 해가 존재하는가?
• RQ2 $\varepsilon \to 0$일 때 해는 집중성과 국소화 측면에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 양자역학적 한계에서 해의 집중 현상은 잠재력 $V(x)$의 최소점과 어떻게 연결되는가?
• RQ4 Trudinger-Moser 유형의 비선형성은 $\mathbb{R}^2$에서 해의 존재성과 콤팩트성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 해의 $L^\infty$ 노름은 영으로부터 일정한 거리만큼 유계로 유지되는가? 이는 비영의 집중을 보장하는가?

주요 결과

• 논문은 주어진 비국소적 슈뢰딩거 방정식이 임계 지수 성장 조건 하에서 $\mathbb{R}^2$에서 지상 상태 해의 존재성을 증명한다.
• $\varepsilon \to 0$일 때 해는 잠재력 $V(x)$의 국소 최소점에 집중되며, 해의 최대점은 $V(y) = V_0$를 만족하는 점 $y$로 수렴한다.
• 해의 $L^\infty$ 노름은 양의 상수 $\delta_0$로부터 일정하게 유계로 유지되어 비영의 집중을 보장한다.
• 해의 집중은 $n$에 대해 균일하며, $\lim_{|x| \to \infty} v_n(x) = 0$이 $n$에 대해 균일하게 성립하여 해의 공간적 감쇠를 확인한다.
• $\varepsilon \to 0$일 때의 극한 문제는 잘 정의되어 있으며, 해는 $\mathbb{R}^2$에서 비섭동 방정식의 해로 수렴한다.
• 저자들은 해의 수열 $\{v_n\}$이 $L^\infty$에서 유계임을 확립하였으며, 이는 집중성과 콤팩트성 증명에 핵심적이다.