[논문 리뷰] Existence and concentration of solution for a class of fractional Hamiltonian systems with subquadratic potential

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 23.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 히르미션 시스템에 대한 부분적 미분 방정식의 비정상적 잠재력에 대해 비판점 이론, 특히 산맥 정리(산맥 정리)를 사용하여 비자명한 약한 해의 존재를 증명한다. 파arameter λ → ∞일 때, 해는 행렬 L(t)가 0이 되는 유한한 간격 I에 집중되며, H^α(ℝ)에서 I 위의 딜리클레 문제의 비자명한 해로 강한 수렴한다.

ABSTRACT

This article study the fractional Hamiltonian systems \begin{eqnarray}\label{00} {_{t}}D_{\infty}^α({_{-\infty}}D_{t}^αu) + λL(t)u = abla W(t, u), \;\;t\in \mathbb{R}, \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $λ>0$ is a parameter, $L\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n imes n})$ and $W \in C^{1}(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^n, \mathbb{R})$. Unlike most other papers on this problem, we require that $L(t)$ is a positive semi-definite symmetric matrix for all $t\in \mathbb{R}$, that is, $L(t) \equiv 0$ is allowed to occur in some finite interval $\mathbb{I}$ of $\mathbb{R}$. Under some mild assumptions on $W$, we establish the existence of nontrivial weak solution, which vanish on $\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}$ as $λ o \infty,$ and converge to $ ilde{u}$ in $H^α(\mathbb{R})$; here $ ilde{u} \in E_{0}^α$ is nontrivial weak solution of the Dirichlet BVP for fractional Hamiltonian systems on the finite interval $\mathbb{I}$.

연구 동기 및 목표

• 부분적 히르미션 시스템에 대한 비자명한 약한 해의 존재를 증명하기 위해 하향 잠재력과 매개변수 λ를 고려한다.
• L(t)가 유한한 간격에서 0이 될 수 있는 경우에 대해 λ → ∞일 때 해의 집중 행동을 분석한다.
• L(t) ≡ 0인 유한한 간격 I에서 해가 집중되며, I 위의 딜리클레 문제의 비자명한 해로 수렴함을 증명한다.
• 비정상적 또는 준정적 잠재력 행렬 L(t)을 갖는 시스템에 비판점 이론의 적용 범위를 확장한다. 특히 L(t) = 0이 비자명한 간격에서 성립하는 경우를 포함한다.

제안 방법

• 좌우 리우빌-바이어프라스 분수 도함수를 사용하여 순서 α ∈ (1/2, 1)의 부분적 히르미션 시스템을 수립한다.
• 매개변수 λ와 행렬 L(t)을 포함한 에너지 함수 I_λ를 분수 스토퍼프 공간 X_λ 위에 정의한다.
• 산맥 정리를 적용하여 λ > Λ일 때 I_λ의 비자명한 임계점을 u_λ로 증명한다.
• 집중-강도 원리와 소멸 레마를 사용하여 λ → ∞일 때 해의 점근적 행동을 분석한다.
• L(t) ≡ 0인 닫힌 간격 I에서 성립할 때, E_0^α(ℝ의 컴팩트 스포트를 갖는 H^α(ℝ)의 부분공간)에 속하는 비자명한 약한 해 ˜u로 u_λ의 수렴을 확립한다.
• 균일 유계성과 에너지 추정을 사용하여 X_λ 및 L^p(ℝ)에서 2 ≤ p < ∞에 대해 u_λ가 ˜u로 강한 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적 히르미션 시스템에 대한 하향 잠재력이 성립할 때 비자명한 약한 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 L(t)가 유한한 간격에서 0이 될 수 있는 경우에 λ → ∞일 때 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 해가 L(t) ≡ 0인 유한한 영역에 집중될 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 극한으로 수렴하는가?
• RQ4 L(t)의 비정상성(즉, L(t) = 0이 양의 측도를 갖는 집합에서 성립하는 경우)은 해의 존재성과 집중에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 극한 해 ˜u는 L(t) ≡ 0인 간격 I에서 딜리클레 문제의 비자명한 약한 해인가?

주요 결과

• λ > Λ일 때, 에너지 함수 I_λ는 비자명한 약한 해인 임계점 u_λ를 갖는다.
• 해 u_λ는 I_λ(u_λ) = c_λ < 0를 만족하며, 산맥 기하학적 성질에 의해 비자명성과 존재성이 확인된다.
• λ → ∞일 때, 해의 수열 u_λ는 X_λ에서 함수 ˜u ∈ E_0^α로 강한 수렴하며, 이는 간격 I 위의 딜리클레 문제의 비자명한 약한 해이다.
• 극한 해 ˜u는 I에 포함되며, 경계 조건이 0인 I 위에서 분수 오일러-라그랑주 방정식을 만족한다.
• 수렴 u_λ → ˜u는 H^α(ℝ) 및 모든 2 ≤ p < ∞에 대해 L^p(ℝ)에서 성립하며, X_λ의 노름에서 강한 수렴을 보인다.
• λ → ∞일 때, u_λ는 ℝ ∖ I에서 거의 어디서나 0이 되며, L(t) ≡ 0인 간격 I에서의 집중을 확인한다.