[논문 리뷰] Existence and construction of bipotentials for graphs of multivalued laws

Marius Buliga, Géry de Saxcé외 1명|arXiv (Cornell University)|2006. 08. 16.

Contact Mechanics and Variational Inequalities참고 문헌 15인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 쌍대 국소 볼록 공간에서 다가값 구성 법칙의 그래프에 대해 이분임피텐셜의 존재를 위한 필수 및 필요조건을 수립한다. 이를 통해 볼록 라그랑주 커버를 구성적 방법으로 도입하여, 비연관 법칙으로의 록파렐라의 초임피텐셜 정리 일반화를 이루며, 이러한 커버를 갖는 BB-그래프는 최소합성 구조를 통해 이분임피텐셜을 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

This is a first paper in convex analysis dedicated to the bipotential theory, based on an extension of Fenchel's inequality. Introduced by the second author, bipotentials lead to a succesful new treatment of the constitutive laws of some dissipative materials: frictional contact, non-associated Drucker-Prager model, or Lemaitre plastic ductile damage law. We solve here the problems of existence and construction of a bipotential for a nonsmooth mechanics constitutive law.

연구 동기 및 목표

• 다가값 구성 법칙이 이분임피텐셜을 갖는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 다각도 법칙의 그래프에 대한 이분임피텐셜을 생성하기 위한 체계적 구성 방법을 개발하는 것.
• 볼록 라그랑주 커버를 사용하여 록파렐라의 초임피텐셜 정리를 비연관, 암묵적 구성 법칙으로 일반화하는 것.
• BB-그래프와 그들의 볼록 라그랑주 커버와의 호환성 개념을 통해 이분임피텐셜의 수학적 구조를 명확히 하는 것.

제안 방법

• BB-그래프를 정의하여, 이들이 볼록 라그랑주 커버를 갖는 것과 동시에 이분임피텐셜을 갖는 조건을 만족하는 다가값 법칙 그래프의 집합으로 삼는다.
• 볼록 라그랑주 커버를 정의하여, BB-그래프를 덮고, 최대 순환 단조성 그래프의 가족이며, 암묵적 볼록 조건을 만족하는 것으로 정의한다.
• 최소합성 구조를 통해 이분임피텐셜을 구성한다: $ b(x,y) = \inf_{\lambda \in [0,\infty]} \{ \phi_\lambda(x) + \phi_\lambda^*(y) \} $.
• 펜켈 부등식을 기초로 삼으며, 이분임피텐셜이 $ b(x,y) \geq \langle x,y \rangle $ 를 만족하도록 일반화한다.
• 최소합성의 볼록성과 이중 볼록성을 보장하기 위해 이중 암묵적 볼록 커버 개념을 적용한다.
• 이 구성 방식에서 카우치 이분임피텐셜 $ b(x,y) = \|x\|\|y\| $ 가 자연스럽게 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각도 구성 법칙이 언제 이분임피텐셜을 갖는가?
• RQ2 비연관 법칙에 대한 이분임피텐셜을 체계적으로 구성할 수 있는 방법이 존재하는가?
• RQ3 볼록 라그랑주 커버는 이분임피텐셜의 존재성과 볼록성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 볼록 쌍대 함수 쌍의 최소합성은 어떻게 볼록적이고 이중 볼록적인 이분임피텐셜을 도출하는가?
• RQ5 BB-그래프에 대해 볼록 라그랑주 커버가 존재하지 않는 데에는 어떤 장애 요소가 존재하는가?

주요 결과

• 다각도 법칙이 이분임피텐셜을 갖는다 → 그 그래프가 BB-그래프이어야 한다 (정리 3.2).
• BB-그래프에 대해 볼록 라그랑주 커버가 존재하는 것은 이분임피텐셜을 구성하는 데 있어 필요 및 충분 조건이다 (정리 6.7).
• 구성된 이분임피텐셜은 $ b(x,y) = \inf_{\lambda \in [0,\infty]} \{ \phi_\lambda(x) + \phi_\lambda^*(y) \} $ 로 주어지며, 이는 이분임피텐셜 부등식을 만족하는 볼록적이고 이중 볼록한 함수이다.
• 카우치 이분임피텐셜 $ b(x,y) = \|x\|\|y\| $ 는 이 구성의 특수한 경우로 복원된다.
• 모든 BB-그래프가 볼록 라그랑주 커버를 갖는 것은 아니며, 비심플렉틱적이고 비볼록화 가능한 심플렉틱 변환을 포함한 반례를 통해 장애 요소가 존재함을 보여준다.
• 서브미니멀을 볼록 라그랑주 커버로 대체하여, 록파렐라의 초임피텐셜 정리를 비연관 법칙으로 일반화한 방법이다.