[논문 리뷰] Existence and cost of boundary controls for a degenerate/singular parabolic equation

Umberto Biccari, Víctor Hernández-Santamaría외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 30.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 48인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 계수 α ∈ [0,1) 및 μ ≤ (1−α)²/4에 따라 변화하는 탈중복/특이성 편미분방정식에 대해 모멘트 방법을 사용하여 경계 영 제어 가능성을 확립한다. x=0 또는 x=1에서 제어의 존재성을 증명하고, 제어 비용이 α 및 μ에 대해 날카롭고 명시적인 추정을 제공하며, T와 스펙트럼 갭에 대한 지수적 의존성을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the following degenerate/singular parabolic equation $$ u_t -(x^\\alpha u_{x})_x - \\frac{\\mu}{x^{2-\\alpha}} u =0, \\qquad x\\in (0,1), \\ t \\in (0,T), $$ where $0\\leq \\alpha <1$ and $\\mu\\leq (1-\\alpha)^2/4$ are two real parameters. We prove the boundary null controllability by means of a $H^1(0,T)$ control acting either at $x=1$ or at the point of degeneracy and singularity $x=0$. Besides we give sharp estimates of the cost of controllability in both cases in terms of the parameters $\\alpha$ and $\\mu$. The proofs are based on the classical moment method by Fattorini and Russell and on recent results on biorthogonal sequences.

연구 동기 및 목표

• 탈중복성과 특이성을 동시에 갖는 편미분방정식에 대한 경계 영 제어 가능성을 확립하기 위해.
• 탈중복/특이성 점 x=0 또는 x=1에 제어를 적용할 경우 제어 가능도 비용을 분석하기 위해.
• 매개수 α 및 μ에 대해 제어 비용의 날카운, 명시적인 추정을 도출하기 위해.
• 비판적 하디 유형의 포텐셜을 갖는 특이-탈중복 연산자에 대해 모멘트 방법을 확장하기 위해.
• 특히 강한 탈중복 영역에서 이러한 연산자에 대한 경계 제어 가능성에 관한 열린 문제를 다루기 위해.

제안 방법

• 제어 문제를 시간에 대한 모멘트 문제로 줄이기 위해 고전적인 Fattorini-Russell 모멘트 방법을 적용하기 위해.
• 관련된 스투름-리우빌 연산자의 스펙트럼 분석을 통해 고유값과 고유함수를 유도하기 위해.
• 탈중복/특이성 연산자의 스펙트럼 구조에 맞추어 조정된 수반 직교 수열을 사용하기 위해.
• 관련 에너지 공간의 강성 확보를 위해 일반화된 하디 부등식을 적용하기 위해.
• 수반 직교 수열과 고유함수의 감쇠에 대한 추정을 통해 제어의 L² 노름에 대한 하한을 유도하기 위해.
• 베셀 함수와 그 도함수를 사용하여 첫 번째 고유함수와 그 정규화 상수를 특성화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개수 α 및 μ를 갖는 탈중복/특이성 편미분방정식에 대해 x=0 또는 x=1에서 경계 제어를 통해 영 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 모든 경계 제어 설정에서 제어 비용이 매개수 α 및 μ에 대해 정확히 어떻게 의존하는가?
• RQ3 탈중복성과 특이성이 존재하는 상황에서 연산자의 스펙트럼 성질이 제어 가능도 비용에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 비판적 하디 포텐셜 μ/x²⁻ᵅ를 갖는 경우 모멘트 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가? 여기서 μ ≤ (1−α)²/4이다.
• RQ5 강한 탈중복 영역(α ≥ 1)에서 모멘트 방법의 한계는 무엇이며, 어떤 대체 접근 방식이 필요할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 α ∈ [0,1) 및 μ ≤ (1−α)²/4에 대해 x=1 또는 x=0에서의 경계 제어를 통해 영 제어 가능성이 달성된다.
• 제어 비용은 시간 영역 T에 대해 지수적 의존성을 보이며, exp(−C(1−α)²T) 및 소규모 T에 대해 exp(C/T) 형태의 추정이 가능하다.
• μ < μ(α) = (1−α)²/4일 경우, 제어 비용 추정은 C_ctr-bd ≥ C_u / (√μ(α) + √(μ(α)−μ)) × exp(−C(1−α)²T) × exp(C/T) / T⁴를 만족한다.
• μ = μ(α)일 경우, 비용 추정은 더 복잡한 로그 의존성을 포함한다: exp(−C[1+√(μ(α)−μ)]²T) × exp(−C[√(μ(α)−μ)]⁴ᐟ³(ln(√(μ(α)−μ)) + ln(1/T)))
• 제어의 L² 노름에 대한 하한은 첫 번째 수반 직교 수열과 베셀 함수의 감쇠에 기반하여 도출된다.
• 제안된 가정 하에 비용 추정의 지수적 비율을 더 개선할 수 없으므로 결과는 날카롭다.