[논문 리뷰] Existence and multiplicity for perturbations of an equation involving Hardy inequality and critical Sobolev exponent in the whole R^N

Boumediene Abdellaoui, Veronica Felli외 1명|ArXiv.org|2003. 02. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^N$ 에서 하드리 포텐셜과 임계 소보레프 지수를 포함하는 비선형 타원형 방정식에 대한 양해결의 존재성과 다중성을 확립한다. 농축-콤���트성 원리와 루스테르니크-슈니레르만 카테고리 이론을 사용하여, $h(x)$ 및 $k(x)$의 계수의 형태—크기 외에도—해결의 존재성과 다중성에 영향을 미친다는 것을 보여주며, $k$가 무한히 많은 국소 최대값을 가질 경우 무한히 많은 해가 가능하다.

ABSTRACT

In order to obtain solutions to problem $$ {{array}{c} -Δu=\dfrac{A+h(x)} {|x|^2}u+k(x)u^{2^*-1}, x\in {\mathbb R}^N, u>0 \hbox{in}{\mathbb R}^N, {and}u\in {\mathcal D}^{1,2}({\mathbb R}^N), {array}. $$ $h$ and $k$ must be chosen taking into account not only the size of some norm but the shape. Moreover, if $h(x)\equiv 0$, to reach multiplicity of solution, some hypotheses about the local behaviour of $k$ close to the points of maximum are needed.

연구 동기 및 목표

• 해당 문제의 $\mathbb{R}^N$ 에서 하드리 타입의 포텐셜과 임계 소보레프 비선형성을 포함하는 반선형 타원형 방정식에 대한 양해결의 존재성과 다중성을 분석하는 것.
• 계수 $h(x)$ 및 $k(x)$의 형태—특히 $L^\infty$ 노름 외의 요소—가 문제의 해법 가능성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 기존의 하드리-소보레프 방정식의 변형에 대해 변분적 및 위상수학적 방법을 통합하여 이전 결과를 확장하는 것.
• 특히 $k(x)$가 무한히 많은 점에서 최댓값을 갖는 경우에 다수의 양해결이 존재할 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 포호자에프 유형의 장벽이 존재함을 보이며, 이는 해의 존재를 위해 $h$ 및 $k$의 기하학적 형태에 따라 조건이 필요하다는 것을 밝혀내는 것.

제안 방법

• P.L. 라이오네의 농축-콤팩트성 원리를 사용하여 $ℝ^N$ 에서의 컴팩트성 부족을 다루는 것.
• 해당 에너지 함수의 임계점을 식별하기 위해 변분 방법과 네하리 다양체 프레임워크를 사용하는 것.
• $k(x)$가 무한히 많은 국소 최대값을 가질 경우 임계점의 수를 추정하기 위해 루스테르니크-슈니레르만 카테고리 이론을 적용하는 것.
• 호모토피를 통한 변형 리트랙트 논증을 도입하여 최대값 집합 $\mathcal{C}(k)$의 카테고리와 해의 수를 연결하는 것.
• 팔라이스-스무스 조건이 특정 에너지 수준 이하에서 성립함을 보장하여 팔라이스-스무스 수열의 수렴을 확보하는 것.
• 카오-차브로스키 및 타란텔로의 정밀한 추정을 기반으로 한 앤티테이션-바다레 메서드에 기반한 변형 논증을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방정식 $-\Delta u = \frac{A + h(x)}{|x|^2}u + k(x)u^{2^*-1}$ 이 $ℝ^N$ 에서 양해결을 가지기 위한 $h(x)$ 및 $k(x)$ 에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 국소 최대값의 형태에 따라 $k(x)$ 가 양해결의 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 포호자에프 유형의 항등식은 해의 존재를 방해하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 계수의 기하학적 형태를 통해 이를 어떻게 회피할 수 있는가?
• RQ4 $k(x)$ 의 최대값 점 집합의 루스테르니크-슈니레르만 카테고리가 해의 수를 추정하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 특정 에너지 수준 이하에서 관련 함수의 팔라이스-스무스 조건이 성립하기 위한 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $k \equiv 1$ 이고 $h$ 가 적절한 감쇠 및 부호 조건을 만족할 경우, 농축-콤팩트성 방법을 통해 최소한 하나의 양해결이 존재한다.
• 모든 $h \equiv 0$ 이면 $k(x)$ 가 유한한 수의 점에서 최댓값을 갖는 경우 해의 다중성이 발생하며, 작은 $\lambda$ 에 대해 최소 $\text{Card}(\mathcal{C}(k))$ 개의 해가 존재한다.
• 만약 $k(x)$ 가 원점 근처 유한한 거리에서 수렴하는 무한히 많은 국소 최대값을 가진다면, 해의 수는 최소한 $\mathcal{C}(k)$ 의 $\delta$-근방 내에서의 루스테르니크-슈니레르만 카테고리에 의해 아래에서 유계가 된다.
• 특정 예시 $k_1(r) = \eta(r)(1 - |\sin(1/(r - 1/2))|^\theta)$ 에 대해, $\lambda$ 가 충분히 작을 경우 임의의 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 최소 $m$ 개의 해가 존재한다.
• 포호자에프 유형 항등식은 존재 여부가 크기 외에도 $h$ 및 $k$ 의 반경 방향 도함수에 의존함을 시사하며, 이는 형태가 핵심 요소가 된다는 것을 의미한다.
• 예외적으로 날카로운 소보레프 상수와 비선형성의 구조에 기반한 모순 논증을 통해 모든 해가 고정된 부호를 가짐을 보였다.