[논문 리뷰] Existence and multiplicity results for the fractional Schrodinger-Poisson systems

Zhang Jin-guo|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 05.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 아미브로세티-라비노비츠 조건을 만족하지 않는 비선형성을 가진 분수 슈뢰딩거-포아송 체계에 대해 무수히 많은 고에너지 해의 존재성을 확립한다. 기약성 비선형성과 완화된 성장 조건 하에서 펌프 이론을 적용함으로써, 케라미 수열의 유계성을 증명하고, 행동 함수값이 무한으로 향하는 $H^s(\mathbb{R}^3) \times D^t(\mathbb{R}^3)$ 내에서 무수히 많은 해를 확보한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to study the existence and multiplicity solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson systems involving fractional Laplacian operator: \begin{equation}\label{eq*} \left\{ \aligned &(-Δ)^{s} u+V(x)u+ ϕu=f(x,u), \quad & ext{in }\mathbb{R}^3, &(-Δ)^{t} ϕ=u^2, \quad & ext{in }\mathbb{R}^3, \endaligned ight. \end{equation} where $(-Δ)^α$ stands for the fractional Laplacian of order $α\in (0\,,\,1)$. Under certain assumptions on $V$ and $f$, we obtain infinitely many high energy solutions for \eqref{eq*} without assuming the Ambrosetti-Rabinowitz condition by using the fountain theorem.

연구 동기 및 목표

• 비상수 잠재력과 아미브로세티-라비노비츠 조건을 만족하지 않는 비선형성을 가진 분수 슈뢰딩거-포아송 체계에 대해 무수히 많은 고에너지 해의 존재성을 확립하는 것.
• 기존의 고전적 슈뢰딩거-포아송 체계 결과를 $s,t \in (0,1)$ 인 분수 라플라스 연산자 설정으로 확장하는 것.
• 표준 (AR) 조건이 없이 케라미 수열의 유계성을 입증하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해, 대체 가정 $(f_3)$ 및 $(f_4)$ 를 도입하는 것.
• 비자기적이고 비기약 대칭이 아닌 경우에 분수 펌프 이론 접근법을 약화된 비선형성 조건으로 일반화하는 것, 즉 비선형성 $f(x,u)$ 에 대한 더 약한 조건을 사용하는 것.

제안 방법

• 강력하게 부정적인 함수에 대해 펌프 이론을 활용하여 변분 설정에서 무수히 많은 임계점을 찾는다.
• 조건 $(f_3)$: $|u|$ 가 큰 경우 $uf(x,u) - 4F(x,u) \geq 0$ 를 만족시키며, 케라미 수열의 유계성을 보장한다.
• 조건 $(f_4)$: $\theta \mathcal{F}(x,u) \geq \mathcal{F}(x,\tau u)$ 를 $\theta \geq 1$, $\tau \in [0,1]$ 에 대해 만족시키며, 성장과 컴acts를 제어한다.
• 유한차원 부분공간에서의 노름 등가성과 에너지 추정을 통해 케라미 수열의 유계성을 확립한다.
• 비선형성 $f(x,u)$ 의 기약성과 에너지 함수의 짝성 덕분에 대칭 설정에서 펌프 이론을 적용한다.
• 분수 슈뢰딩거-포아송 체계의 비선형 결합 항 $\int \phi_u^t u^2\,dx$ 를 제어하기 위해 분수 슈뢰딩거-포아송 체계의 리프츠 잠재력 $\phi_u^t$ 에 대한 소벨 임베딩과 추정을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아미브로세티-라비노비츠 조건 없이 분수 슈뢰딩거-포아송 체계에 대해 무수히 많은 고에너지 해를 확보할 수 있는가?
• RQ2 비선형성 $f(x,u)$ 가 기약적이지만 $F(x,u)$ 가 음수가 아닐 수는 없는 경우에도 펌프 이론이 여전히 적용 가능한가?
• RQ3 특히 $F(x,u)$ 가 부호를 바꿀 수 있을 때, (AR) 조건보다 더 약한 조건 하에서 케라미 수열의 유계성이 보장될 수 있는가?
• RQ4 비선형성 $f(x,u)$ 와 $V(x)$ 에 대해 어떤 성장 및 대칭 조건이 분수 설정에서 무수히 많은 해를 보장하는 데 충분한가?

주요 결과

• 조건 $(V)$, $(f_1)$--$(f_3)$, 및 $(f_5)$ 하에서, 체계는 $H^s(\mathbb{R}^3) \times D^t(\mathbb{R}^3)$ 내에서 무수히 많은 고에너지 해 $\{(u_k, \phi_{u_k}^t)\}$ 를 갖는다.
• 행동 함수 $I(u_k) \to +\infty$ 를 $k \to \infty$ 일 때 만족하며, 이는 해들이 점점 더 높은 에너지를 가짐을 확인한다.
• 조건 $(f_3)$ 하에서 케라미 수열 $\{u_n\}$ 이 공간 $E = H^s(\mathbb{R}^3)$ 내에서 유계이며, 이는 펌프 이론의 타당성을 보장한다.
• 증명은 유한차원 부분공간에서의 노름 등가성과 $k \to \infty$ 일 때의 감쇠성 $\beta_k = \sup_{\|u\|_E=1, u \in Z_k} \|u\|_{L^p}$ 에 의존한다.
• 임베딩 $H^s(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow L^4(\mathbb{R}^3)$ 가 성립하기 위해 $4s + 2t \geq 3$ 가 필요하며, 이는 비선형성이 잘 정의됨을 보장한다.
• 이전 연구를 일반화하여 $F(x,u) \geq 0$ 와 (AR) 조건의 필요성을 제거하면서도 여전히 펌프 이론을 통해 무수히 많은 해를 확보한다.