[논문 리뷰] Existence and regularity for weak solutions for a fluid interacting with a non-linear shell in 3D

Boris Muha, Sebastian Schwarzacher|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 05.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 34인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 압축성 없는 나비에-스토크스 방정식과 비선형 코이터 쉘 모델이 결합된 3차원 유체-구조 상호작용 문제에 대해 약한 해의 존재성과 고차 정칙도를 확립한다. 저자들은 유체의 소산 효과를 이용해 소산되지 않는 고체 항을 제어하는 데에 새로운 분석 도구를 도입함으로써, 근사화에 의존하지 않는 정칙도를 보장하는 사전 추정치를 유도한다. 이는 유체-구조 시스템에 대해 일반화된 아불린-라온스 컴팩턴스 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the unsteady incompressible Navier-Stokes equations in three dimensions interacting with a non-linear flexible shell of Koiter type. This leads to a coupled system of non-linear PDEs where the moving part of the boundary is an unknown of the problem. The known existence theory for weak solutions is extended to non-linear Koiter shell models. We introduce a-priori estimates that reveal higher regularity of the shell displacement beyond energy estimates. These are essential for non-linear Koiter shell models, since such shell models are non-convex (w.r.t. terms of highest order). The estimates are obtained by introducing new analytical tools that allow to exploit dissipative effects of the fluid for the (non-dissipative) solid. The regularity result depends on the geometric constitution alone and is independent of the approximation procedure; hence it holds for arbitrary weak solutions. The developed tools are further used to introduce a generalized Aubin-Lions type compactness result suitable for fluid-structure interactions.

연구 동기 및 목표

• 유체-구조 상호작용 문제에서 비선형 코이터 쉘 모델에 대한 기존의 약한 해 존재 이론을 확장한다.
• 코이터 쉘 모델에서의 비볼록성 문제에 대응한다. 이는 표준 에너지 추정치가 고차 정칙도를 도출하지 못하게 한다.
• 유체 소산 효과를 활용해 소산되지 않는 고체 역학을 제어하는 분석 도구를 개발한다.
• 근사화 방법에 의존하지 않고 기하학적 구성 조건에만 의존하는 정칙도 결과를 확립한다.
• 비선형 비볼록성 고체를 포함한 유체-구조 상호작용 문제에 적용 가능한 아불린-라온스 컴팩턴스 보조정리를 일반화한다.

제안 방법

• 표준 에너지 한계를 초월하는 쉘 변형에 대한 사전 추정치를 유도하여 고차 정칙도를 드러낸다.
• 유체의 소산 효과가 소산되지 않는 고체 시스템에 미치는 영향을 활용하는 새로운 분석 기법을 도입한다.
• 쉘의 기하학적 구조를 이용해 근사화 절차에 의존하지 않는 추정치를 유도한다.
• 비선형 비볼록성 쉘을 갖는 유체-구조 시스템에 특화된 일반화된 아불린-라온스 유형 컴팩턴스 결과를 구성한다.
• 경계가 알려져 있지 않은 움직이는 경계를 갖는 비선형 PDE 시스템으로 연속체 시스템을 공식화한다.
• 코이터 쉘 모델에서 발생하는 비선형성과 비볼록성에 대응하기 위해 기능적 해석 도구를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 코이터 쉘 모델과 움직이는 경계를 포함한 3차원 유체-구조 상호작용 문제에서 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 코이터 모델이 고차항에 대해 비볼록성일 경우, 쉘 변형의 고차 정칙도는 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 유체 소산 효과를 이용해 고체 성분의 소산되지 않는 역학을 제어할 수 있는가?
• RQ4 약한 해의 정칙도가 수치적 근사 방법이 아닌 기하학적 성질에 얼마나 의존하는가?
• RQ5 비선형 비볼록성 고체 모델을 갖는 유체-구조 시스템에 대해 일반화된 아불린-라온스 컴팩턴스 결과를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 에너지 추정치를 초월하는 더 높은 정칙도를 드러내는 사전 추정치가 도출되었다.
• 정칙도 결과는 근사화 절차에 의존하지 않고 쉘의 기하학적 구성 조건에만 의존한다.
• 유체 소산 효과를 활용해 소산되지 않는 고체 항을 제어할 수 있는 새로운 분석 도구가 개발되었다.
• 이 방법은 비선형 코이터 쉘 모델에 대한 약한 해 존재 이론의 확장을 가능하게 한다.
• 비선형 비볼록성 고체를 포함한 유체-구조 상호작용 문제에 적합한 일반화된 아불린-라온스 컴팩턴스 결과가 구성되었다.
• 이 틀은 특정 근사화 방법에서 유도된 해가 아니더라도 임의의 약한 해에 적용 가능하다.