[논문 리뷰] Existence and Regularity of Optimal Shapes for Elliptic Operators with Drift

Emmanuel Russ, Baptiste Trey외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 57인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 체적 및 드리프트 노름 제약 조건 하에서 타원형 연산자 $-\Delta + V\cdot\nabla$ 의 첫 번째 고유값에 대한 최적 형상의 존재성과 정칙성을 확립한다. $\gamma$-수렴과 자유 경계 기법을 사용하여, 최적 도메인은 $C^{1,\alpha}$ 경계를 가지며, 특이점 집합의 하우스도르프 차원은 차원 $d$ 에 따라 제어되며, 유일한 임계 차원 $d^* \in \{5,6,7\}$ 이 존재한다.

ABSTRACT

This paper is dedicated to the study of shape optimization problems for the first eigenvalue of the elliptic operator with drift L= - Δ + V(x) · ∇ with Dirichlet boundary conditions, where V is a bounded vector field. In the first instance, we prove the existence of a principal eigenvalue λ1(Ω , V) for a bounded quasi-open set Ω which enjoys similar properties to the case of open sets. Then, given m> 0 and τ≥ 0 , we show that the minimum of the following non-variational problem min{λ1(Ω,V):Ω⊂Dquasi-open,|Ω|≤m,‖V‖L∞≤τ}.is achieved, where the box D⊂ Rd is a bounded open set. The existence when V is fixed, as well as when V varies among all the vector fields which are the gradient of a Lipschitz function, are also proved. The second interest and main result of this paper is the regularity of the optimal shape Ω ∗ solving the minimization problem min{λ1(Ω,∇Φ):Ω⊂Dquasi-open,|Ω|≤m},where Φ is a given Lipschitz function on D. We prove that the optimal set Ω ∗ is open and that its topological boundary ∂Ω ∗ is composed of a regular part, which is locally the graph of a C1,α function, and a singular part, which is empty if d< d∗, discrete if d= d∗ and of locally finite Hd-d∗ Hausdorff measure if d> d∗, where d∗∈ { 5 , 6 , 7 } is the smallest dimension at which there exists a global solution to the one-phase free boundary problem with singularities. Moreover, if D is smooth, we prove that, for each x∈ ∂Ω ∗∩ ∂D, ∂Ω ∗ is C1 , 1 / 2 in a neighborhood of x.

연구 동기 및 목표

• 편미분 방정식의 스펙트럼 이론을 개방 도메인을 초월하여 준개방 집합 $\Omega$ 와 유계 드리프트 필드 $V$ 에 대해 주된 고유값 $\lambda_1(\Omega, V)$ 의 존재성을 확립하는 것.
• 체적 및 $L^\infty$-노름 제약 조건 하에서 $\lambda_1(\Omega, V)$ 를 최소화하는 최적 도메인 $\Omega^*$ 와 드리프트 필드 $V^*$ 의 존재성을 증명하는 것.
• 드리프트 필드 $V = \nabla\Phi$ 인 경우, $\Phi$ 가 리프시츠 잠재력일 때 자유 경계 $\partial\Omega^* \cap D$ 의 정규 및 특이 부분의 구조를 분석하는 것.
• 최적 집합이 개방되어 있고 유한한 둘레를 가지며, 경계의 정칙성이 환경 차원 $d$ 에 따라 달라지며, 유일한 임계 차원 $d^* \in \{5,6,7\}$ 이 존재하는 것을 보이는 것.
• 클래식한 딜리클레 라플라스 연산자 결과를 드리프트가 있는 경우로 확장하여, $D$ 가 $C^{1,1}$ 이면 경계 $\partial D$ 에까지 정규성이 연장됨을 보이는 것.

제안 방법

• $\gamma$-수렴과 약한-$\gamma$-수렴을 사용하여 고유값 기능 $\lambda_1(\cdot, V)$ 가 준개방 집합의 클래스로 연속적으로 확장됨을 보이는 것.
• 변분 기법과 내부 변형을 적용하여 고유값 최소화 문제의 최적성 조건을 유도하는 것.
• 측도 제약 조건이 있는 자유 경계 문제를 도입하여, 고유함수 $u$ 가 $\Omega^*$ 내에서 $-\Delta u + V\cdot\nabla u = \lambda_1 u$ 와 $\partial\Omega^*$ 에서 $u=0$ 을 만족하도록 하는 것.
• 블로업 분석과 단조성 공식을 사용하여 고유함수의 자유 경계 근처 행동을 연구하고 특이점 집합을 분류하는 것.
• 에너지 밀도에 대한 가중치가 있는 파인카레-유사 부등식과 두배화 추정을 사용하여 조밀도 추정과 고유함수의 비퇴화성을 증명하는 것.
• 에피피에리메트릭 부등식 프레임워크(참고 문헌 [37] 의 정신에 따라) 를 적용하여 저차원에서는 자유 경계의 $C^{1,\alpha}$ 정칙성을 확보하고 고차원에서는 차원 추정을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준개방 집합 $\Omega$ 에 대해 주된 고유값 $\lambda_1(\Omega, V)$ 가 존재하며, 이는 동일한 스펙트럼 성질을 가지는가?
• RQ2 제약 조건 $|\Omega| \leq m$ 과 $\|V\|_{L^\infty} \leq \tau$ 하에서 $\lambda_1(\Omega, V)$ 의 최소화자 $\Omega^*$ 가 존재하는가?
• RQ3 드리프트 필드 $V = \nabla\Phi$ 인 경우, 자유 경계 $\partial\Omega^* \cap D$ 의 정칙성은 어떠한가?
• RQ4 자기 경계 $\partial\Omega^* \cap D$ 의 특이점 집합의 구조는 차원 $d$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 $D$ 가 $C^{1,1}$ 이면 경계 $\partial D$ 에까지 경계 정규성이 연장되는가?

주요 결과

• 모든 준개방 집합 $\Omega \subset D$ 와 유계 벡터장 $V$ 에 대해 주된 고유값 $\lambda_1(\Omega, V)$ 는 잘 정의되어 있으며 실수이다.
• 제약 조건 $|\Omega| \leq m$ 과 $\|V\|_{L^\infty} \leq \tau$ 하에서 최소화 문제 $\min \{ \lambda_1(\Omega, V) : |\Omega| \leq m, \|V\|_{L^\infty} \leq \tau \}$ 의 해 $(\Omega^*, V^*)$ 가 준개방 집합의 클래스에 존재한다.
• 드리프트 필드 $V = \nabla\Phi$ 이고 $\Phi$ 가 리프시츠일 경우, 최적 집합 $\Omega^*$ 는 개방되어 있고 유한한 둘레를 가진다.
• 자유 경계 $\partial\Omega^* \cap D$ 는 국소적으로 $C^{1,\alpha}$ 인 정규 부분과 하우스도르프 차원이 최대 $d - d^*$ 인 특이 부분으로 분해되며, 여기서 $d^* \in \{5,6,7\}$ 은 일단상 자유 경계 문제의 전역 특이 해가 존재하는 최소 차원이다.
• 만약 $D$ 가 $C^{1,1}$ 이면, $\partial\Omega^*$ 는 $\partial D \cap \partial\Omega^*$ 근처에서 $C^{1,1/2}$ 이며, 정규 부분은 내부 정규 부분과 경계 부분을 모두 포함한다.
• 최적 집합 $\Omega^*$ 는 체적 제약 조건을 포화시킨다: $|\Omega^*| = m$, 그리고 $\lambda_1(\Omega^*, \nabla\Phi)$ 와 관련된 고유함수 $u$ 는 두배화 부등식과 비퇴화 조건을 만족하며, 이는 $D$ 의 모든 점에서 양의 하한 조밀도를 암시한다.