[논문 리뷰] Existence and regularity of solution for a Stochastic Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with unbounded noise diffusion

Dimitra C. Antonopoulou, Geogia Karali외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 04.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 공간-시간 백색 잡음과 비유계 확산 계수 σ(|σ(u)| ≤ C(1 + |u|^α) for α ∈ (0, 1/9))를 갖는 확률적 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 방정식에 대해 존재성과 경로 정규성을 확립한다. 군 이론과 인수분해 방법을 사용하여, 해의 정규성이 초기 조건에 따라 달라짐을 증명한다: 경로는 거의 확실하게 공간에서 지수 β ∧ (2 − d)/2, 시간에서 지수 β/4 ∧ (1/2 − d/8)로 허더 연속이며, 이는 이전 결과를 비유계 σ로 확장한 것이다.

ABSTRACT

The Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with noise is a simplified mean field model of stochastic microscopic dynamics associated with adsorption and desorption-spin flip mechanisms in the context of surface processes. For such an equation we consider a multiplicative space-time white noise with diffusion coefficient of sub-linear growth. Using technics from semigroup theory, we prove existence, and path regularity of stochastic solution depending on that of the initial condition. Our results are also valid for the stochastic Cahn-Hilliard equation with unbounded noise diffusion, for which previous results were established only in the framework of a bounded diffusion coefficient. We prove that the path regularity of stochastic solution depends on that of the initial condition, and are identical to those proved for the stochastic Cahn-Hilliard equation and a bounded noise diffusion coefficient. If the initial condition vanishes, they are strictly less than 2-d/2 in space and 1/2-d/8 in time. As expected from the theory of parabolic operators in the sense of Petrovski, the bi-Laplacian operator seems to be dominant in the combined model.

연구 동기 및 목표

• 다중 공간-시간 백색 잡음이 존재하는 확률적 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 방정식에 대해 해의 존재성과 경로 정규성을 확립한다.
• 이전에 유계 확산 계수에 대해서만 유효했던 결과를 비유계 확산 계수에 대해, 특히 비선형 성장 조건을 만족하는 경우로 확장한다.
• 해의 경로 정규성을 초기 조건의 정규성과 공간 차원 d에 따라 기술한다.
• 결합된 모델에서 이중라플라스 연산자가 정규성 성질을 지배함을 보이며, 이는 파라볼릭 연산자 이론에 따른 Petrovskii 이론과 일치한다.

제안 방법

• 힐버트 공간 프레임워크 내에서 확률적 진동 방정식을 분석하기 위해 군 이론을 적용한다.
• 갈레르킨 근사법을 사용하여 근사 해를 구성하고 수렴성을 확보한다.
• 비유계 σ를 갖는 확률적 적분을 다루기 위해 인수분해 방법을 적용하여 개선된 정규성 추정을 가능하게 한다.
• 버크홀더 부등식과 가르시아-로데미히-라움세이 보조정리를 사용하여 모멘트 추정 및 해 경로의 허더 연속성을 도출한다.
• 해의 국소화와 σ(un)의 성장 제어를 위해 정지시간 Tn을 도입하고, 조건 (C) 및 (\tilde{C}_α) 하에서 모멘트 유계를 확보한다.
• 확률적 적분 L(x,t)가 거의 확실하게 H"older 공간 Cλ,μ([0,T]×D)에 속함을 증명한다. 여기서 λ < 1/2 − d/8 이고 μ < 2 − d/2 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음 확산 계수 σ가 비유계이지만 비선형 성장 조건을 만족할 경우, 확률적 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 방정식에 대해 존재성과 경로 정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 해 경로의 정규성은 초기 조건 u0의 정규성과 공간 차원 d에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 σ가 리프쉬츠 연속이면서 비선형 성장 조건을 만족할 경우, 해의 최적 허더 정규성은 공간과 시간에서 각각 어떻게 되는가?
• RQ4 결합된 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 모델에서 이중라플라스 연산자가 정규성 성질을 지배하는가? 파라볼릭 이론에 따르면 예상되는 바와 일치하는가?
• RQ5 인수분해 방법은 이전의 유계 확산 계수 경우에 비해 경로 정규성 추정을 어떻게 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제시된 σ와 u0의 조건 하에서, 확률적 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 방정식의 해는 전역적으로 존재하며 거의 확실하게 경로 연속성과 함께 존재한다.
• 초기 조건 u0가 연속일 경우, 해는 거의 확실하게 공간과 시간에서 연속적인 경로를 갖는다.
• u0가 β-허더 연속일 경우(β ∈ (0,1)), 해 경로는 거의 확실하게 공간에서 지수 β ∧ (2 − d)/2, 시간에서 지수 β/4 ∧ (1/2 − d/8)로 허더 연속이다.
• 초기 조건이 0일 경우, 해의 경로 정규성은 공간에서 2 − d/2 이하, 시간에서 1/2 − d/8 이하로 엄격히 낮다.
• 이중라플라스 연산자가 해의 정규성 성질을 지배하며, Petrovskii 이론에 따르는 파라볼릭 연산자 이론과 일치한다.
• 이전의 유계 확산 계수에 대한 결과를 비유계 σ와 비선형 성장 조건으로 일반화하였으며, 정교한 확률적 분석 기법을 사용하였다.