[논문 리뷰] Existence and stability of screw dislocation configurations with arbitrary net Burgers vector

Thomas Hudson, Christoph Ortner|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 03.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 21인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 선형 탄성 이론에서 유도된 근사해와 역함수정리(implicit function theorem)를 사용하여, 영온도의 평면 외 방향 격자 모델에서 임의의 순 Burgers 벡터를 가진 스레드 디스로케이션 구조의 존재성과 국소 안정성을 엄밀히 입증한다. 국소 최소화자는 이러한 탄성 근사해 주변에 머무르며, 이는 디스로케이션 핵부근에서 선형 탄성 이론의 타당성을 뒷받침한다.

ABSTRACT

We consider a variational anti-plane lattice model and demonstrate that at zero temperature, there exist locally stable states containing screw dislocations, under conditions on the distance between the dislocations and on the distance between dislocations and the boundary of the crystal. In proving our results, we introduce approximate solutions which are taken from the theory of dislocations in linear elasticity, and use the inverse function theorem to show that local minimisers lie near them. This gives credence to the commonly held intuition that linear elasticity is essentially correct up to a few spacings from the dislocation core.

연구 동기 및 목표

• 임의의 순 Burgers 벡터를 가진 격자 모델에서 안정된 스레드 디스로케이션 구조의 존재성을 엄밀히 입증하는 것.
• 특히 다른 디스로케이션과의 거리 및 결정체 경계와의 거리 조건을 고려할 때 이러한 디스로케이션들이 국소적으로 안정되는 조건을 분석하는 것.
• 진짜 최소화자가 탄성 해에 가까이 위치함을 보여줌으로써, 디스로케이션 핵부근에서 선형 탄성 이론이 효과적인 근사임을 검증하는 것.
• 디스로케이션 구조에 관해 연속체 탄성 이론과 이산 격자 모델 간의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 선형 탄성 이론에 기반한 스레드 디스로케이션에 대한 근사해를 구성하는 것.
• 격자 에너지 함수의 국소 최소화자가 이러한 탄성 근사해 주변에 존재함을 보이기 위해 역함수정리를 적용하는 것.
• 안정성을 확보하기 위해 디스로케이션 간 거리와 디스로케이션과 결정체 경계 사이의 거리에 기하학적 제약을 부과하는 것.
• 영온도 조건에서 이산 평면 외 격자 설정에서 변분 방법을 사용하여 디스로케이션 구조를 모델링하는 것.
• 편미분의 규칙성과 소규모 크기를 확보하여 역함수정리 적용의 수렴을 보장하는 것.
• 탄성 해 주변의 에너지 경관이 유일한 국소 최소화자를 포함함을 보여주어 안정성을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 이산 격자 모델에서 임의의 순 Burgers 벡터를 가진 안정된 스레드 디스로케이션 구조가 존재하는가?
• RQ2 디스로케이션 핵부근에서 실제 에너지 최소화자는 선형 탄성 이론의 예측과 얼마나 가까이 위치하는가?
• RQ3 디스로케이션 간 간격과 경계 근접성에 대한 기하학적 제약은 이러한 구조의 국소 안정성을 어떻게 보장하는가?
• RQ4 선형 탄성 이론은 이산 격자 프레임워크 내에서 디스로케이션의 구조를 어느 정도 정확하게 기술하는가?
• RQ5 역함수정리는 연속체 근사에서 유도된 디스로케이션 해의 안정성을 엄밀히 정당화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 기하학적 제약 조건 하에서 평면 외 격자 모델에서 임의의 순 Burgers 벡터를 가진 안정된 스레드 디스로케이션 구조가 존재한다.
• 에너지 함수의 국소 최소화자가 선형 탄성 이론에서 유도된 근사해에 매우 가까이 위치함을 입증하였다.
• 역함수정리는 이러한 구조가 탄성 근사 주변에서 안정됨을 엄밀히 정당화한다.
• 결과는 선형 탄성 이론이 디스로케이션 핵부근에서 약 몇 개의 격자 간격까지 유효하다는 물리적 직관을 지지한다.
• 안정성은 디스로케이션 간 거리와 결정체 경계로부터의 거리가 충분히 크기 depend한다.
• 이 프레임워크는 선형 탄성 이론이 이산 시스템에서 디스로케이션 구조를 예측하는 데 있어 강건함을 확인한다.