[논문 리뷰] Existence and symmetry result for Fractional p-Laplacian in $\mathbb{R}^{n}$

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 10.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n$에서 잠재력과 초임계, 초선형 비선형성을 갖는 분수형 p-라플라시안 방정식에 대한 비자명한 약한 해의 존재성을, Cerami 조건을 만족하는 산맥 길이 정리에 기반하여 증명한다. 또한 대칭 감소 재배열과 분수형 소볼레프 공간에 대한 폴리아-슈에고 부등식을 이용해 이 해가 구형 대칭임을 추가로 증명한다.

ABSTRACT

In this article we are interested in the following fractional $p$-Laplacian equation in $\mathbb{R}^n$ \begin{eqnarray*} &(-Δ)_{p}^αu + V(x)u^{p-2}u = f(x,u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{n}, \end{eqnarray*} where $p\geq 2$, $0< s < 1$, $n\geq 2$ and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using mountain pass theorem with Cerami condition we prove the existence of nontrivial solution. Furthermore, we show that this solution is radially simmetry.

연구 동기 및 목표

• 분수형 p-라플라시안 방정식에 대한 비자명한 약한 해의 존재성을 증명하기 위해 $ℝ^n$에서 잠재력 항과 초임계, 초선형 비선형성을 갖는 방정식의 클래스에 대해 연구한다.
• 얻어진 해의 대칭성 특성을 분석하여, 특히 구형 대칭성을 증명한다.
• 특히 Cerami 조건을 만족하는 산맥 길이 정리를 비국소적이고 비선형적인 분수형 p-라플라시안 설정에 확장한다.
• 에너지 함수의 재배열을 통해 그 에너지가 재배열된 구형 대칭 형태로 최소화됨을 보여주기 위해 대칭 감소 재배열 기법을 적용한다.
• 에너지 함수가 분수형 소볼레프 공간 $X^s$에서 임계점 이론에 필요한 컴actness 조건과 기하학적 조건을 만족함을 확인한다.

제안 방법

• 분수형 소볼레프 공간 $X^s = \{u \in W^{s,p}(\mathbb{R}^n) : \int_{\mathbb{R}^n} V(x)|u|^p dx < \infty\}$에서 문제를 수식화하고, 노름 $\|u\|_{X^s} = \left( [u]_{s,p}^p + \|V^{1/p}u\|_p^p \right)^{1/p}$을 갖춘다.
• 에너지 함수 $I(u) = \frac{1}{p}\|u\|_{X^s}^p - \int_{\mathbb{R}^n} F(x,u) dx$를 정의하며, 여기서 $F(x,t) = \int_0^t f(x,s) ds$이며, 주어진 조건 하에서 $C^1$임을 보인다.
• 산맥 길이 기하학 조건이 $I$를 만족함을 확인한다: $I(0) = 0$, $\rho, \alpha > 0$가 존재하여 $\|u\|_{X^s} = \rho$일 때 $I(u) \geq \alpha$이며, $\|e\|_{X^s} > \rho$인 어떤 $e$에 대해 $I(e) < 0$이다.
• 임의의 $(C)_c$ 수열이 수렴하는 부분수열을 갖도록 보장하기 위해 Cerami 조건을 적용하여 산맥 길이 정리를 적용할 수 있도록 한다.
• 대칭 감소 재배열 $u^*$를 사용하여, 모든 $u \in X^s$에 대해 $I(u^*) \leq I(u)$임을 보이며, 분수형 폴리아-슈에고 부등식과 $V$의 구형 대칭성을 활용한다.
• 재배열된 경로에 대해 에클랜드의 변분 원리를 적용하여 수렴하는 Cerami 수열을 추출하고, 이 수열이 임계점으로 수렴함을 보여, 이 임계점이 구형 대칭임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수형 p-라플라시안 방정식 $(-\Delta)_p^s u + V(x)u^{p-2}u = f(x,u)$가 $ℝ^n$에서 비자명한 약한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 무한정 도메인에서 분수형 p-라플라시안과 관련된 에너지 함수에 대해 Cerami 조건을 만족하는 산맥 길이 정리를 성공적으로 적용할 수 있는가?
• RQ3 제시된 $f$와 $V$에 대한 조건 하에서 변분 방법을 통해 구한 해는 구형 대칭성을 유지하는가?
• RQ4 대칭 감소 재배열은 분수형 소볼레프 공간의 맥락에서 에너지 함수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 양의 구형 증가 함수로 가정된 잠재력 $V(x)$는 해의 대칭성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 분수형 p-라플라시안 방정식과 관련된 에너지 함수 $I$는 산맥 길이 기하학 조건과 Cerami 조건을 모두 만족하여 비자명한 임계점의 존재를 보장한다.
• 가정 $(V)$, $(f_1)$–$(f_3)$ 하에서 산맥 길이 정리에 의해 방정식 $(-\Delta)_p^s u + V(x)u^{p-2}u = f(x,u)$가 $ℝ^n$에서 비자명한 약한 해를 갖는다.
• 산맥 길이 절차를 통해 구한 해는 대칭 감소 재배열과 분수형 폴리아-슈에고 부등식을 적용하여 구형 대칭임을 증명할 수 있다.
• 재배열된 함수는 $I(u^*) \leq I(u)$를 만족하며, 등호가 성립하는 것은 $u$가 이미 구형 대칭이면서 비증가임을 의미하므로 최소화자는 반드시 대칭이어야 한다.
• 에클랜드 원리에 의해 추출된 Cerami 수열은 $X^s$에서 강한 수렴성을 보이며, 임계점 $w$에 대해 $I(w) = c$ 및 $I'(w) = 0$임을 보여 비자명한 해의 존재를 확인한다.
• 잠재력 $V(x)$의 구형 대칭성과 재배열이 에너지를 감소시키는 사실 덕분에 해의 구형 대칭성이 유지되며, 이는 최소화자가 반드시 대칭이어야 함을 의미한다.