[논문 리뷰] Existence and uniqueness of (infinitesimally) invariant measures for second order partial differential operators on Euclidean space

Haesung Lee, Gérald Trutnau|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 20.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 41인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 계수의 정규성 조건이 낮은 경우에도 R^d 위의 두 번째 차수 타원형 미분 연산자와 관련된 (무한소로) 불변 측도의 존재성 및 유일성을 보장하는 충분조건을 설정한다. 이는 관련 헌트 과정의 재귀성에 의해 무한소로 불변 측도의 유일성이 도출되며, 국소 유한 측도 범주에서 불변 측도의 존재성 및 유일성도 보장된다. 이는 재귀성에 대한 해석학적 기준을 사용하고, 불변성과 보존성, L^r-유일성, 그리고 셈그룹 성질을 연결함으로써 이루어진다.

ABSTRACT

We consider a locally uniformly strictly elliptic second order partial differential operator in $\mathbb{R}^d$, $d\ge 2$, with low regularity assumptions on its coefficients, as well as an associated Hunt process and semigroup. The Hunt process is known to solve a corresponding stochastic differential equation that is pathwise unique. In this situation, we study the relation of invariance, infinitesimal invariance, recurrence, transience, conservativeness and $L^r$-uniqueness, and present sufficient conditions for non-existence of finite infinitesimally invariant measures as well as finite invariant measures. Our main result is that recurrence implies uniqueness of infinitesimally invariant measures, as well as existence and uniqueness of invariant measures, both in subclasses of locally finite measures. We can hence make in particular use of various explicit analytic criteria for recurrence that have been previously developed in the context of (generalized) Dirichlet forms and present diverse examples and counterexamples for uniqueness of infinitesimally invariant, as well as invariant measures and an example where $L^1$-uniqueness fails for one infinitesimally invariant measure but holds for another and pathwise uniqueness holds. Furthermore, we illustrate how our results can be applied to related work and vice versa.

연구 동기 및 목표

• 저조도 계수를 가진 R^d 위의 두 번째 차수 타원형 연산자와 관련된 (무한소로) 불변 측도의 존재성 및 유일성 조건을 설정하는 것.
• 이러한 연산자와 그에 관련된 셈그룹의 맥락에서 재귀성, 비재귀성, 보존성, 그리고 L^r-유일성 간의 상호작용을 명확히 하는 것.
• 유한한 불변 또는 무한소로 불변 측도의 존재하지 않음을 위한 충분조건을 제공하는 것.
• 재귀성에 대한 해석학적 기준이 어떻게 불변 측도의 존재성 및 유일성 결과를 도출할 수 있는지 보여주는 것.
• 경로 유일성 및 민감 문제와 같은 확률적 분석 응용 분야와 이론을 연결하는 것.

제안 방법

• 계수 A = σσ^T 및 비틀림 G를 통해 정의된 두 번째 차수 타원형 연산자 L을 분석하며, 국소적으로 균일하게 강타원형이고 저조도 조건(예: 국소 허더-연속 계수)을 가정한다.
• 가정 (H) 하에 국소 유한 무한소로 불변 측도 µ = ρdx의 존재를 이용하여 L^1(R^d, µ) 위의 부분 마코프형 C0-셈그룹 (T^μ_t) 을 구성한다.
• (T^μ_t)의 정규화를 통해 헌트 과정 M을 구성하며, M이 폭주하지 않음을 (T^μ_t)의 보존성과 동치로 보여준다.
• 크릴로프-보골류보 방법과 두브의 정리와 같은 확률론적 도구를 사용하여 불변 측도의 존재성 및 유일성을 도출한다.
• 시간에 의존하는 이토 공식과 단조 클래스 추론을 사용하여 보존성 조건 하에서 셈그룹 (T^μ_t)과 (P^μ_t) 간의 동치성을 증명한다.
• 보존성에 대한 명시적 기준(예: 식 (35))을 사용하여 계수의 해석학적 한계를 관련 SDE의 경로적 성질과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R^d 위의 두 번째 차수 타원형 연산자가 어떤 조건에서 유한한 무한소로 불변 측도를 가질 수 있는가?
• RQ2 관련 헌트 과정의 재귀성이 무한소로 불변 측도 및 불변 측도의 유일성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 유한한 불변 또는 무한소로 불변 측도의 존재하지 않음을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 경로 유일성이 성립하는 동안, 어떤 경우에 L^1-유일성이 한 무한소로 불변 측도에서는 실패하고 다른 한 측도에서는 성립하는가?
• RQ5 강타원성 또는 기약성 가정이 없을 경우, 재귀성에 대한 해석학적 기준이 어떻게 불변 측도의 존재성 및 유일성을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 연관된 (T^μ_t)에 대한 헌트 과정의 재귀성은 국소 유한 측도 범주에서 무한소로 불변 측도의 유일성을 암시한다.
• 재귀성 조건 하에서 국소 유한 측도 범주에서 불변 측도의 존재성 및 유일성이 모두 성립한다.
• 유한한 불변 측도의 존재하지 않음을 위한 충분조건이 제시되며, 특히 비틀림 및 확산 계수의 성장률이 너무 느릴 경우에 해당된다.
• 논문은 L^1-유일성이 한 무한소로 불변 측도에서는 실패하고 다른 한 측도에서는 성립하는 예를 구성하였으며, 이는 경로 유일성이 성립하는 SDE와도 일치한다.
• 셈그룹 (T^μ_t)가 보존적이기 위한 필요충분조건은 관련 헌트 과정 M이 폭주하지 않으며, 보존성은 M이 경로적으로 SDE (1)을 약한 해로 만족함을 의미한다.
• G의 성분들이 국소 허더-연속이고 (T^μ_t)가 보존적인 경우, 셈그룹 (T^μ_t)는 [23, 챕터 2.2] 및 [27, 섹션 4]에서 구성된 강타원성 셈그룹 (T(t)) 와 일치한다. 이는 해석학적 접근과 확률론적 접근 간의 다리를 놓는다.