[논문 리뷰] Existence and uniqueness of solution of Cauchy-type problem for Hilfer fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 07.

Nonlinear Differential Equations Analysis인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 피카르의 반복근사법과 일반화된 그로워랄레 부등식을 사용하여 힐러 분수계 미분방정식을 포함하는 코시형 문제의 해가 존재하고 유일하며 연속적으로 의존함을 확립한다. 주요 기여는 해가 분수계수와 초기조건에 대해 연속적으로 의존함을 증명하고, 초기 데이터나 계수에 대한 편미분에 대해 미타그레플레르 함수를 포함하는 명시적 경계를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

The Cauchy-type problem for a nonlinear differential equation involving Hilfer fractional derivative is considered. We prove existence, uniqueness and continuous dependence of a solution for Cauchy-type problem using successive approximations and generalized Gronwall inequality.

연구 동기 및 목표

• 비선형 힐러 분수계 미분방정식에 대해 코시형 초기조건을 갖는 해의 존재성과 유일성을 확립하기.
• 고정점 방법의 한계를 해결하기 위해 분수계수와 초기조건에 대한 해의 연속적 의존성을 분석하기.
• 추상적 고정점 정리 대신 피카르의 반복 방법을 사용한 구조적 증명 프레임워크 제공하기.
• 초기 데이터나 계수에 대한 편미분에 의해 발생하는 해의 변동에 대한 명시적 경계를 유도하기, 미타그레플레르 함수를 사용하여.
• 분수계수 계산과 관련된 가중 함수 공간에서의 코시 문제의 잘 정의됨을 보장하기.

제안 방법

• 해를 반복적으로 구성하기 위해 피카르의 반복근사법을 사용하여 가중 공간 $ C_{1-\beta}[a,b] $ 내에서 수렴을 보장한다.
• 근사해 간의 차이를 제어하고 수렴 속도를 조절하기 위해 일반화된 그로워랄레 부등식을 사용한다.
• 힐러 분수계 도함수 $ D_{a^{+}}^{eta,eta} $ 는 $ I_{a^{+}}^{eta(1-\beta)} D_{a^{+}}^{eta} $ 로 정의되며, 여기서 $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $ 이다.
• 비선형 항 $ f(x,y) $ 의 리프시츠 연속성과 상수 $ A $ 를 설정하여 해의 차이를 추정한다.
• 리만-리오빌 분수계 적분 $ I_{a^{+}}^\alpha $ 와 미타그레플레르 함수 $ E_{\alpha,\gamma}(z) $ 를 포함하는 적분 표현을 유도하고, 편미분 경계를 위해 사용한다.
• 해 공간 내 수렴을 정의하기 위해 거리 함수 $ d(y_1,y_2) = \|y_1 - y_2\|_{C_{1-\gamma}[a,b]} = \max_{x\in[a,b]} |(x-a)^{1-\gamma}[y_1(x) - y_2(x)]| $ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 구간에서 힐러 분수계 미분방정식의 코시형 문제는 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 초기 조건이 작은 $ \epsilon $ 만큼 편미분될 경우 해는 어떻게 연속적으로 의존하는가?
• RQ3 분수계수 $ \alpha $ 가 약간 변화할 경우 해는 어떻게 변하는가?
• RQ4 해는 반복근사법을 통해 명시적으로 구성될 수 있으며, 균일 수렴이 보장되는가?
• RQ5 초기 데이터나 계수의 미세한 변화에 의해 발생하는 해의 변동에 대한 정량적 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 비선형 항 $ f(x,y) $ 가 리프시츠 연속성을 만족할 경우, 힐러 분수계 코시 문제의 해는 $[a,b]$ 에서 존재하고 유일하다.
• 해는 초기 조건에 대해 연속적으로 의존한다: 초기값이 $ \epsilon $ 만큼 편미분되면, 해의 차이는 $ |\epsilon|(x-a)^{\gamma-1} E_{\alpha,\gamma}(A(x-a)^\alpha) $ 로 경계된다. 여기서 $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $ 이다.
• 분수계수 $ \alpha $ 에 대한 미세한 변화에 대해, 해의 차이는 계수의 차이와 함께 미타그레플레르 함수를 포함하는 항으로 경계된다.
• 반복근사의 수렴은 가중 공간 $ C_{1-\gamma}[a,b] $ 내에서 보장되며, 극한은 분수계 미분방정식의 적분형을 만족한다.
• 초기점 $ a $ 근처에서는 해가 잘 정의되어 있으나, $ l > a $ 에 대해 $[a,l]$ 에서는 상당한 변화가 발생할 수 있으나, $[l,b]$ 에서는 안정성이 유지된다.
• 계수 편미분에 의한 해의 변동 경계는 일반화된 그로워랄레 부등식을 사용하여 유도되었으며, 계수의 차이와 커널 $ (x-t)^{\alpha - \delta - 1} $ 를 포함한다.