[논문 리뷰] Existence and uniqueness of solutions of stochastic functional differential equations

Max‐K. von Renesse, Michael Scheutzow|ArXiv.org|2008. 12. 09.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 휘어진 메모리 조건이 있는 확률적 함수 미분 방정식에 대한 강한 해의 존재성과 유일성을 약한 단조성(일면 리프시츠) 조건 하에서 증명한다. 저자들은 새로운 유형의 오일러-무라야마 스킴을 사용하여 계수들이 리프시츠가 아닐 때에도 국소적인 존재성과 유일성을 입증하고, 폭발 시간까지 최대 해를 포착하는 방법을 보여주며, 폭발을 방지하는 약한 성장 조건을 제시한다.

ABSTRACT

We provide sufficient conditions on the coefficients of a stochastic functional differential equation with bounded memory driven by Brownian motion which guarantee existence and uniqueness of a maximal local and global strong solution for each initial condition. Our results extend those of previous works. For local existence and uniqueness, we only require the coefficients to be continuous and to satisfy a one-sided local Lipschitz (or monotonicity) condition. In an appendix we formulate and prove four lemmas which may be of independent interest: three of them can be viewed as rather general stochastic versions of Gronwall's Lemma, the final one - which we call Dereich-Lemma - provides tail bounds for Hoelder norms of stochastic integrals.

연구 동기 및 목표

• 문헌에서 확률적 함수 미분 방정식에 대한 체계적 간극을 메우기 위해, 약한 단조성 조건 하에서 존재성과 유일성을 입증하는 것.
• 비지연 SDE에서의 고전적 한쪽 리프시츠 조건을 유한 메모리가 있는 지연 방정식으로 확장하는 것.
• 유한 시간 폭발이 발생하는 경우에도 강한 근사를 제공하는 수치적 스킴을 개발하는 것.
• 전역 존재성을 보장하고 폭발을 방지하는 약한 성장 조건을 규명하는 것.
• 독립적인 관심을 가진 일반 도구로서의 확률적 그론발 렘마와 허더 노름 尾 확률 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 유한 메모리가 있는 확률적 함수 미분 방정식을 위한 수정된 오일러-무라야마 스킴을 구성하였으며, 경로에 의존하는 계수의 이산 시간 근사치를 사용한다.
• 스킴은 경로 공간 C([-r,0]; R^d)로 일반화된 고전적 한쪽 리프시츠 조건을 적용한 약한 단조성 조건 (M) 하에서 분석된다.
• 부록에서 표준 버크홀더-데이비스-긴월 및 그론발 추론의 실패를 보완하기 위해, C^0-노름에 대한 약한 의존성에 기인한, 새로운 확률적 그론발 렘마를 개발하였다.
• 가우시안 등가면적 이론과 시간 변환된 브라운 운동 표현을 사용하여, 확률적 적분의 허더 노름에 대한 尾 확률 추정을 유도하였다.
• 이 방법이 폭발 시간까지 최대 해로 강하게 수렴함을 보였으며, 이는 폭발 시간의 수치적 복원을 가능하게 한다.
• 전역 존재성을 보장하기 위해, 소산 시스템에서의 강제성과 유사한 약한 성장 조건 (C) 를 도입하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수에 대한 전적으로 한쪽 리프시츠(단조성) 조건만을 요구할 때, 유한 메모리가 있는 확률적 함수 미분 방정식에 대해 강한 해의 국소적 존재성과 유일성을 확보할 수 있는가? (완전한 리프시츠 연속성은 필요하지 않다.)
• RQ2 해가 유한 시간 내에 폭발할 경우에도 오일러-무라야마 스킴이 해의 강한 근사를 제공할 수 있는가?
• RQ3 약한 정규성 조건 하에서, 경로에 의존적이고 무한 차원적인 설정에서 확률적 그론발 렘마를 구성하고 증명할 수 있는가? 이는 약한 조건 하에서 해의 성장 제어에 기여한다.
• RQ4 해의 전역 존재성을 보장하고 폭발을 방지하는 계수에 대한 약한 성장 조건은 무엇인가?
• RQ5 기능적 SDE의 맥락에서, 확률적 적분의 허더 노름에 대한 일반적인 尾 확률 추정은 존재하는가?

주요 결과

• 약한 단조성 조건 (M) 하에서, 경로 공간의 컴acts 부분집합에서의 드리프트 및 확산 계수에 대한 한쪽 리프시츠 조건만 요구하는 경우, 강한 해의 국소적 존재성과 유일성이 입증된다.
• 제안된 오일러-무라야마 스킴은 해의 강한 근사를 제공하며, 폭발이 발생할 경우 폭발 시간까지 최대 해로 수렴한다.
• 전역 존재성을 보장하고 폭발을 방지하는 약한 성장 조건 (C) 가 규명되었으며, 이는 계수들이 리프시츠가 아닐 때에도 유효하다.
• 저자들은 독립적인 관심을 가진 네 가지 렘마를 증명하였다: 두 개의 확률적 그론발 렘마와 두 개의 허더 노름에 대한 尾 확률 추정.
• 확률적 그론발 렘마는 드리프트 및 확산 계수에 대한 약한 적분 가능성 조건 하에서, 음이 아닌 정반사 마틴갈의 Supremum의 p-차 모멘트를 제어할 수 있다.
• 허더 노름 尾 확률 추정 렘마는, 경로 공간에서의 부드러움 부족을 다루는 데 핵심적인, 확률적 적분의 허더 반노름에 대한 지수 꼬리 추정을 제공한다.