[논문 리뷰] Existence and uniqueness results for BSDEs with jumps: the whole nine yards

Antonis Papapantoleon, Dylan Possamaï외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 14.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반 조건 하에 다차원 확률적 미분 방정식(BSDEs)의 존재성과 유일성을 확립한다: 무한한 랜덤 시간 영역, 가능하게 스토크라스틱적으로 불연속적인 필터레이션, 그리고 스토크라스틱 리프시츠 생성자. 핵심 기여는 가중치 공간에서의 잘 정의된 결과로, 이는 이전 이론을 일반 마르티니갈의 이산 시간 근사에 의해 유도되는 BSDEs로 확장한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to obtaining a wellposedness result for multidimensional BSDEs with possibly unbounded random time horizon and driven by a general martingale in a filtration only assumed to satisfy the usual hypotheses, i.e. the filtration may be stochastically discontinuous. We show that for stochastic Lipschitz generators and unbounded, possibly infinite, time horizon, these equations admit a unique solution in appropriately weighted spaces. Our result allows in particular to obtain a wellposedness result for BSDEs driven by discrete--time approximations of general martingales.

연구 동기 및 목표

• 필터레이션과 생성자에 대한 최소한의 가정 하에 다차원 BSDEs의 잘 정의된 결과를 확립하기 위해.
• 기존 이론을 브라운 운동 기반 필터레이션을 초월하여 일반 마르티니갈 기반 BSDEs로 확장하기 위해, 특히 스토크라스틱적으로 불연속적인 필터레이션을 포함하여.
• 금융 및 확률적 제어 응용에서 흔한 무한하거나 무한한 시간 영역을 처리하기 위해.
• 일반 마르티니갈의 이산 시간 근사에 의해 유도되는 BSDEs를 위한 프레임워크를 제공하여 수치적 및 근사 기법을 가능하게 하기 위해.
• 클래식한 리프시츠 조건을 일반화하여 랜덤 리프시츠 상수를 允허함으로써, 균일하지 않은 리프시츠 생성자에 대한 적용 범위를 넓히기 위해.

제안 방법

• 해당 저자들은 적절히 가중치가 부여된 확률적 공간에서 고정점 원리를 사용하여 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 해의 성장률을 무한한 시간 영역에서 통제하기 위해 지수 국소 마르티니갈과 적분 조건을 기반으로 한 가중치 노름을 정의한다.
• 생성자는 필터레이션에 적응된 랜덤 과정인 리프시츠 상수를 갖는 스토크라스틱 리프시츠 조건을 만족한다고 가정한다.
• 분석은 일반적인 가정을 만족하는 필터레이션에서 수행되며, 이는 스토크라스틱적으로 불연속적인 마르티니갈과 일반 반마르티니갈 드라이버를 포함한다.
• 해의 공간은 무한한 시간 영역 하에서도 과정 쌍 (Y, Z)의 적분 가능성과 예측 가능성 보장을 위해 구성된다.
• 증명은 점근적 추정과 가중치 L² 유사 공간에서의 수축 사상 원리를 기반으로 하며, 점프 성분의 구조와 생성자의 스토크라스틱 리프시츠 성질을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 영역이 무한하거나 랜덤일 경우, 다차원 BSDEs의 점프 성분이 존재할 때 어떤 조건 하에 유일한 해가 존재하는가?
• RQ2 클래식한 리프시츠 조건은 스토크라스틱 리프시츠 조건으로 대체될 수 있으며, 이 경우에도 잘 정의된 결과가 보장되는가?
• RQ3 스토크라스틱적으로 불연속적인 필터레이션, 즉 반드시 연속적이거나 쿼드라티컬리-왼쪽 연속적이지 않은 필터레이션으로도 BSDEs의 잘 정의된 이론을 확장할 수 있는가?
• RQ4 일반 마르티니갈의 이산 시간 근사에 의해 유도되는 BSDEs가 연속 시간 BSDEs와 동일한 프레임워크 내에서 엄밀하게 다룰 수 있는가?
• RQ5 가중치 공간에서 존재성과 유일성을 보장하기 위해 종료 조건과 생성자에 대한 최소한의 적분 가능성 및 정규성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 시간 영역이 무한하거나 랜덤일지라도 스토크라스틱 리프시츠 조건을 만족할 경우, 다차원 BSDEs의 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 해는 적절히 가중치가 부여된 L² 유사 공간 내에서 존재하며, 이는 해의 과정이 무한한 시간 영역에서 성장하는 것을 수용할 수 있다.
• 결과는 일반적인 필터레이션에서 성립하며, 이는 스토크라스틱적으로 불연속적인 마르티니갈을 포함한다.
• 이 프레임워크는 일반 마르티니갈의 이산 시간 근사에 의해 유도되는 BSDEs를 다룰 수 있으며, 수치적 기법에 대한 엄밀한 기초를 제공한다.
• 스토크라스틱 리프시츠 조건은 필수적이다: 이는 랜덤 리프시츠 상수를 허용함으로써 클래식한 균일 리프시츠 조건을 일반화하고 적용 범위를 넓힌다.
• 증명는 가중치 공간에서의 수축 원리를 기반으로 하며, 수축을 위한 충분한 조건은 점프 크기, 드리프트 및 볼atility 파rameter에 대해 명시적으로 유도된다.