[논문 리뷰] Existence, multiplicity and concentration for a class of fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$

Claudianor O. Alves, Vincenzo Ambrosio외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 45인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 작은 매개수 $\varepsilon > 0$ 를 가진 $\mathbb{R}^N$ 에서의 분수형 $p\&q$ 라플라스 방정식 클래스에 대해 비자명한 음이 아닌 해의 존재성, 다중성, 그리고 집중성을 확립한다. 변분 방법, 네하리 다양체 기법, 그리고 암브로세티-라빈로비츠 조건을 가정하지 않은 루스트레니크-슈니레르만 분류 이론을 사용하여, 저자들은 해가 잠재력 $V(x)$ 가 최소값 $V_0$ 를 갖는 점에서 집중됨을 증명하였으며, 해의 수는 집합 $\{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = V_0\}$ 의 분류 수 이하로 bound됨을 보였다. 해의 균일 유계성은 모저 반복 방법을 통해 확립되었다.

ABSTRACT

In this work we consider the following class of fractional $p\&q$ Laplacian problems \begin{equation*} (-\Delta)_{p}^{s}u+ (-\Delta)_{q}^{s}u + V(\varepsilon x) (|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u)= f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*} where $\varepsilon>0$ is a parameter, $s\in (0, 1)$, $1< p<q<\frac{N}{s}$, $(-\Delta)^{s}_{t}$, with $t\in \{p,q\}$, is the fractional $t$-Laplacian operator, $V:\mathbb{R}^{N} ightarrow \mathbb{R}$ is a continuous potential and $f:\mathbb{R} ightarrow \mathbb{R}$ is a $\mathcal{C}^{1}$-function with subcritical growth. Applying minimax theorems and the Ljusternik-Schnirelmann theory, we investigate the existence, multiplicity and concentration of nontrivial solutions provided that $\varepsilon$ is sufficiently small.

연구 동기 및 목표

• 작은 매개수 $\varepsilon > 0$ 를 가진 $\mathbb{R}^N$ 에서의 분수형 $p\&q$ 라플라스 방정식 클래스에 대해 비자명한 음이 아닌 해의 존재성을 확립하는 것.
• 암브로세티-라빈로비츠 조건을 요구하지 않고 루스트레니크-슈니레르만 분류 이론을 활용하여 해의 다중성을 조사하는 것.
• $\varepsilon \to 0$ 일 때 해의 집중 행동을 분석하여, 해가 잠재력 $V(x)$ 를 최소화하는 점에서 집중됨을 보이는 것.
• 모저 반복 방법의 변형을 적용하여 모든 해의 균일 유계성을 증명하는 것.

제안 방법

• 분수형 $p\&q$ 라플라스 문제와 관련된 에너지 함수를 연구하기 위해 변분 방법이 사용된다.
• 비선형성을 다루고 기저 상태 해의 존재성을 확립하기 위해 네하리 다양체가 사용된다.
• 네하리 다양체에 루스트레니크-슈니레르만 분류 이론을 적용하여 다중성 결과를 도출한다.
• 해의 집합의 분류와 잠재력 $V(x)$ 의 최소 집합의 분류를 연결하기 위해 호모토피 방법과 변형된 변형 $\beta_\varepsilon \circ \Phi_\varepsilon$ 를 사용한다.
• 약한 해에 대해 수정된 모저 반복 체계를 적용하여 본질적 유계성을 증명하고, $L^\infty$-정규성을 확립한다.
• 암브로세티-라빈로비츠 조건 없이 네하리 다양체 위에서 팔라이스-스무스 조건을 증명하였으며, 이는 주요 기술적 신뢰성이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\mathbb{R}^N$ 에서의 분수형 $p\&q$ 라플라스 방정식이 적어도 하나의 비자명한 음이 아닌 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이 문제는 몇 개의 비자명한 음이 아닌 해를 갖는가? 그리고 이 수는 집합 $\{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = V_0\}$ 의 위상 기하학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $\varepsilon \to 0$ 일 때 해는 어디에 집중되며, 질량 분포의 정밀한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 암브로세티-라빈로비츠 조건을 가정하지 않고도 해의 유계성을 확립할 수 있는가? 만약 가능하면 그 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 충분히 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해 문제 (1.1) 은 $V(x_0) = V_0$ 를 만족하는 점 $x_0 \in \mathbb{R}^N$ 에서 집중되는 음이 아닌 기저 상태 해 $u_\varepsilon$ 를 갖는다.
• 모든 $\delta > 0$ 에 대해 $\varepsilon_\delta > 0$ 가 존재하여, 모든 $\varepsilon \in (0, \varepsilon_\delta)$ 에 대해 문제는 적어도 $\text{cat}_{M_\delta}(M)$ 개의 비자명한 음이 아닌 해를 갖는다. 여기서 $M = \{x : V(x) = V_0\}$ 이고 $M_\delta = \{x : \text{dist}(x, M) \leq \delta\}$ 이다.
• 집중은 적분 형태로 정량화된다: 각 수열 $\varepsilon_n \to 0$ 에 대해 해 $u_{\varepsilon_n}$ 은 $\int_{B_{\varepsilon_n \bar{R}}(y)} f(u_{\varepsilon_n}) u_{\varepsilon_n} \, dx \geq C \varepsilon_n^N$ 과 $\int_{\mathbb{R}^N \setminus B_{\varepsilon_n \bar{R}}(y)} f(u_{\varepsilon_n}) u_{\varepsilon_n} \, dx < \varepsilon_n^N \delta$ 를 만족하며, $C > 0$ 과 $\bar{R} > 0$ 이다.
• 문제 (1.1) 의 모든 해는 $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ 에서 균일하게 유계이며, $\|u\|_{L^\infty} \leq K$ 를 만족한다. 여기서 $K > 0$ 는 $\varepsilon$ 와 무관하다. 이는 모저 반복 방법을 통해 확립되었다.