[논문 리뷰] Existence, multiplicity and regularity of solutions of elliptic problem involving non-local operator with variable exponents and concave-convex nonlinearity

Reshmi Biswas, Sweta Tiwari|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 변하는 순서와 지수 매개변수를 갖는 새로운 가변 지수 분수 소볼레프 공간 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$를 도입하고, 가변 순서 분수 라플라스 연산자와 오목-凸비선형성을 갖는 비국소 타원 문제에 대한 해의 존재성, 다중성 및 균일한 정규성 추정을 수립한다. 변분 방법을 사용하여 비선형성의 초임계 성장 조건 하에서 여러 개의 양의 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, first we introduce the variable exponent fractional Sobolev space $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(Ω).$ Then, using variational methods we study the existence and multiplicity of solution of the following variable order non-local problem involving concave-convex type nonlinearity: \begin{align*} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)} u(x)&=λ\mid u(x)\mid^{α(x)-2}u(x)+f(x,u),\hspace{3mm} x\in Ω, % u&>0,\hspace{15mm} x\in Ω, u&=0,\hspace{38mm}x\in \mathcal{C}Ω:=\mathbb R^n\setminusΩ, \end{align*} where $λ>0,$ $p\in C(\overlineΩ imes \overlineΩ,(1,\infty))$, $s\in C(\overlineΩ imes\overlineΩ, (0,1))$ and $q,α\in C(\overlineΩ,(1,\infty))$ and $f:Ω imes\mathbb R ightarrow[0,\infty)$ is a Caratheodory function with subcritical growth. We also prove the uniform estimate for the solution of the above problem.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 변하는 순서와 지수 매개변수를 갖는 새로운 가변 지수 분수 소볼레프 공간 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$를 정의하고 분석한다.
• 가변 순서 분수 $p(\cdot)$-라플라스 연산자를 포함하는 비국소 타원 문제에 대한 약한 해의 존재성과 다중성을 조사한다.
• 비선형항 $f(x,u)$의 초임계 성장 조건 하에서 해에 대한 균일 추정을 수립한다.
• 비국소 문제에 대한 변분 방법을 가변 지수와 오목-凸비선형성의 조합에 확장한다.
• 비표준적이고 가변 순서 소볼레프 설정에서 해의 정규성과 구조에 대한 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 저자들은 공간적으로 변하는 분수 순서 $s(x,y)$와 적분 가능성 지수 $p(x,y)$를 수용할 수 있도록 새로운 가변 지수 분수 소볼레프 공간 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$를 정의한다.
• 비국소 문제와 관련된 에너지 함수에 변분 방법을 적용하여 변분법의 직접 방법을 활용한다.
• 적절한 성장 및 강제 조건 하에서 산맥 길이 정리에 의해 최소한 하나의 약한 해 존재성을 확립한다.
• 비선형성 $f(x,u)$의 행동에 따라 다중성 해 존재성을 펌프 테오럼 또는 연결 유형 정리에 의해 증명한다.
• 가변 지수 공간의 성질과 사전 경계를 사용하여 해에 대한 균일 추정을 유도한다.
• 비선형성 $f(x,u)$는 초임계 성장 조건을 만족하는 카라테오도리 함수로 가정하여 함수가 잘 정의되고 강제됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가변 순서 분수 $p(\cdot)$-라플라스 연산자와 오목-凸비선형성을 갖는 비국소 타원 문제에 대해, 새로운 가변 지수 분수 소볼레프 공간 내에서 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 $\lambda$, $\alpha(x)$, 및 $f(x,u)$에 주어진 조건 하에서 몇 개인 약한 해를 보장할 수 있는가?
• RQ3 변수 지수 매개변수 $s(x,y)$ 및 $p(x,y)$에 관계없이 해에 대한 균일 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ4 해의 정규성 클래스는 가변 지수 분수 소볼레프 공간의 관점에서 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ5 변수 지수 $s(x,y)$, $p(x,y)$, 및 $\alpha(x)$는 해의 구조와 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 초임계 성장 및 강제 조건 하에서 변분 방법을 통해 비국소 문제에 대해 최소한 하나의 약한 해 존재성을 수립한다.
• 적절한 매개변수 범위에서 임계점 이론, 특히 펌프 테오럼을 통해 여러 약한 해 존재성을 증명한다.
• 해에 대한 균일 추정이 유도되어 변수 지수 매개변수에 관계없이 안정성과 유계성을 보장한다.
• 해 공간은 엄밀히 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$로 정의되어 고전적 분수 소볼레프 공간을 가변 순서 및 가변 지수 설정으로 확장한다.
• 비선형성 $f(x,u)$는 초임계 성장을 갖는 것으로 밝혀져, 관련 에너지 함수의 컴acts 및 하부 연속성에 필수적이다.
• 오목-凸비선형성의 문제 구조는 하부선형 및 초선형 항 간의 경쟁으로 인해 다중성 결과를 가능하게 한다.