[논문 리뷰] Existence, nonexistence, symmetry and uniqueness of ground state for critical Schrödinger system involving Hardy term

Senping Luo, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 하디 유형의 포텐셜과 임계 비선형성을 갖는 임계 슈뢰딩거 체계에 대한 기본 상태 해의 존재성, 비존재성, 대칭성 및 유일성을 확립한다. 변분 방법과 척도 변환 논증을 사용하여, $ r \to 3 $ 인 경우, 모든 결합 상수 $ \beta_{jk} > 0 $ 이면 양의 기본 상태 해가 존재하고, 모든 $ \beta_{jk} < 0 $ 이면 존재하지 않으며, 이때 해는 구형 대칭성을 갖는다. 추가로 $ r \to 3 $, $ N = 4 $ 인 경우 유일성이 입증된다.

ABSTRACT

We study the following elliptic system with critical exponent: \begin{displaymath} \begin{cases}-Δu_j-\frac{λ_j}{|x|^2}u_j=u_j^{2^*-1}+\sum\limits_{k eq j}β_{jk}α_{jk}u_j^{α_{jk}-1}u_k^{α_{kj}},\;\;x\in\R^N, u_j\in D^{1,2}(\R^N),\quad u_j&gt;0 \;\; \hbox{in} \quad \R^N\setminus \{0\},\quad j=1,...,r.\end{cases}\end{displaymath} Here $N\geq 3, r\geq2, 2^*=\frac{2N}{N-2}, λ_j\in (0, \frac{(N-2)^2}{4})$ for all $ j=1,...,r $; $β_{jk}=β_{kj}$; \; $α_{jk}&gt;1, α_{kj}&gt;1,$ satisfying $α_{jk}+α_{kj}=2^* $ for all $k eq j$. Note that the nonlinearities $u_j^{2^*-1}$ and the coupling terms all are critical in arbitrary dimension $N\geq3 $. The signs of the coupling constants $\bb_{ij}$'s are decisive for the existence of the ground state solutions. We show that the critical system with $r\geq 3$ has a positive least energy solution for all $β_{jk}&gt;0$. However, there is no ground state solutions if all $β_{jk}$ are negative. We also prove that the positive solutions of the system are radially symmetric. Furthermore, we obtain the uniqueness theorem for the case $r\geq 3$ with $N=4$ and the existence theorem when $r=2$ with general coupling exponents.

연구 동기 및 목표

• 하디 포텐셜과 임계 비선형 결합을 포함하는 임계 슈뢰딩거 체계에 대한 기본 상태 해의 존재성과 비존재성을 규명하는 것.
• 결합 상수 $ \beta_{jk} $ 가 양의 최소 에너지 해의 존재성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 이동 구의 방법을 사용하여 양의 해의 구형 대칭성을 증명하는 것.
• 특정 결합 조건 하에서 $ r \geq 3 $, $ N = 4 $ 인 경우 기본 상태 해의 유일성을 확립하는 것.
• 하디 항과 임계 소볼레프 비선형성 모두가 존재하는 이중 임계 경우에서 체계의 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수를 네하리 다양체 위에서 정의한 $ D^{1,2}(Ω) $ 공간에서 변분 방법을 적용하여 임계점을 찾는다.
• 이동 구의 방법을 적용하여 양의 해의 구형 대칭성을 증명하며, $ u_j / u_k $ 가 상수임을 보여 모든 성분이 비례함을 의미한다.
• 척도 변환 논증을 사용하여 문제를 정규화된 체계로 축소시키며, 소볼레프 포함에서 알려진 극값 함수와의 비교를 가능하게 한다.
• 동차성과 척도 불변성에서 유도된 대수적 방정식계를 유도하여, 정규화된 프로파일에 대한 양의 해 $ (c_1, c_2) $ 가 존재함을 도출한다.
• 특히 $ N = 4 $ 인 임계 경우에 농축-콤팩트니스와 분석을 통해 팔라이스-스모스 조건을 우회한다.
• 엄밀한 볼록성과 대칭 제약 조건을 사용하여, 임의의 최소화 수열이 알려진 극값 함수에 비례하는 유일한 프로파일로 수렴함을 보여 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하드 포텐셜을 갖는 임계 슈뢰딩거 체계가 양의 기본 상태 해를 갖기 위한 결합 상수 $ \beta_{jk} $ 에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 체계의 양의 해는 구형 대칭성을 갖는가? 만약 그렇다면 어떤 가정 하에서인가?
• RQ3 $ r \geq 3 $ 이고 $ N = 4 $ 인 경우, 기본 상태 해는 어떻게 유일하게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 모든 $ \beta_{jk} < 0 $ 인 경우, 특히 $ r \geq 3 $ 인 경우 기본 상태의 존재성은 어떻게 되는가?
• RQ5 합이 $ 2^* $ 를 만족하는 지수 $ \alpha_{jk}, \alpha_{kj} $ 는 해의 존재성과 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• $ r \geq 3 $ 인 경우, 모든 결합 상수 $ \beta_{jk} > 0 $ 이면 네하리 다양체 위에서 변분 구성에 의해 양의 최소 에너지 해가 존재함을 보여준다.
• 모든 $ \beta_{jk} < 0 $ 이면, 변분 설정에서 강제성과 에너지 제어의 부재로 인해 기본 상태 해가 존재하지 않음이 입증된다.
• 체계의 모든 양의 해는 구형 대칭성을 갖는다. 이는 이동 구의 방법을 통해 증명되며, 모든 $ j, k $ 에 대해 $ u_j / u_k $ 가 상수임을 의미한다.
• $ r \geq 3 $ 이고 $ N = 4 $ 인 경우, 기본 상태 해는 유일하다. 이는 임의의 최소화 수열이 알려진 극값 함수에 비례하는 유일한 프로파일로 수렴함을 보여 유일성이 입증된다.
• 최소 에너지 수준 $ \Theta $ 는 $ (\sqrt{c_1} z, \sqrt{c_2} z, \dots, \sqrt{c_r} z) $ 의 형태를 갖는 해에 의해 달성되며, 여기서 $ z $ 는 정규화된 임계 방정식의 양의 해이다.
• 대수적 체계 $ c_j^{p-1} + \nu \alpha c_j^{\alpha/2 - 1} c_k^{\beta/2} = 1 $ 에 대한 양의 해의 존재는 기본 상태 후보의 존재를 보장한다.