[논문 리뷰] Existence of coated inclusions of general shape weakly neutral to multiple fields in two dimensions

Hyeonbae Kang, Xiaofei Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 03.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 음함수정리에 기반한 섭동 방법을 사용하여, 두 차원에서 임의의 코어 형상을 가진 코팅된 포함체가 다수의 균일한 필드에 대해 약한 중성성을 갖는다는 것을 입증한다. 만약 코어가 원판의 소규모 섭동이라면, 분극화 텐서가 사라지도록 적절한 쉘을 구성할 수 있으며, 이는 필드의 미약한 변화를 보장한다.

ABSTRACT

A two dimensional inclusion of core-shell structure is neutral to multiple uniform fields if and only if the core and the shell are concentric disks, provided that the conductivity of the matrix is isotropic. An inclusion is said to be neutral if upon its insertion the uniform field is not perturbed at all. In this paper we consider inclusions of core-shell structure of general shape which are weakly neutral to multiple uniform fields. An inclusion is said to be weakly neutral if the field perturbation is mild. We show, by an implicit function theorem, that if the core is a small perturbation of a disk then we can coat it by a shell so that the resulting structure becomes weakly neutral to multiple uniform fields.

연구 동기 및 목표

• 비원형 코어를 가진 포함체를 다수의 균일한 필드에 대해 약한 중성성으로 구성하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 오직 동심 원판만 중성인 고전적 중성성 결과를 일반화하여 임의의 코어 형상을 允許하는 더 약한 중성성 개념으로 확장하기 위해.
• 코어가 원판이 아니더라도 쉘 설계를 통해 분극화 텐서가 사라지도록 함으로써 약한 중성성이 달성될 수 있음을 보여주기 위해.
• 섭동 분석과 음함수정리를 사용하여 일반형 코어를 가진 이러한 구조의 존재를 구성적으로 보여주기 위해.

제안 방법

• 기본적으로 원판형 코어에서 시작하여, 분극화 텐서가 사라지도록 하는 쉘 구성을 음함수정리를 사용해 구한다.
• 매트릭스의 등방성 전도도를 가지며, 코어와 쉘의 등방성 전도도가 조각별로 일정한 코어-쉘 구조로 포함체를 모델링한다.
• 전위의 두극자 점근 전개를 사용하여, 필드 변화를 분극화 텐서(PT)로 표현한다.
• 코어 경계를 푸리에 계수로 매개변수화하고, 쉘을 원형 영역의 섭동으로 간주한다.
• 비편향된 원판 형상에서 분극화 텐서의 형상 매개변수에 대한 도함수를 계산한다.
• 분극화 텐서 성분의 야코비안이 원점에서 비특이함을 입증하여, 음함수정리의 적용이 가능함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비원형 코어를 가진 코팅된 포함체가 두 차원에서 다수의 균일한 필드에 대해 약한 중성성을 가질 수 있는가?
• RQ2 비원형 코어 주위에 분극화 텐서가 사라지도록 할 수 있는 쉘을 구성할 수 있는가?
• RQ3 소규모 형상 섭동 하에서 분극화 텐서의 사라짐에 대해 음함수정리가 적용 가능한가?
• RQ4 전도도와 기하학적 조건이 일반형 포함체에 대해 약한 중성성을 보장하기 위해 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 어느 작은 원판형 코어의 섭동이라도, 그에 상응하는 쉘이 존재하여 결과적으로 포함체가 모든 균일한 필드에 대해 약한 중성성을 갖는다.
• 분극화 텐서가 사라지는 것은 무한대에서 필드 변화가 $ O(|x|^{-2}) $ 로 감소하는 것과 동치이며, 이는 약한 중성성의 조건이다.
• 비편향된 원판에서 분극화 텐서 성분의 형상 매개변수에 대한 야코비안은 0이 아니며, 이는 음함수정리를 통한 국소적 역행성 보장을 한다.
• 결과는 매트릭스 전도도가 등방성이고, 코어 및 쉘 전도도가 등방성 스칼라임을 가정할 때 성립한다.
• 물리적 조건 $ 0 < rac{( ho^2)( ext{일부 전도도 비율})}{1} < 1 $ 를 만족하는 모든 전도도에 대해 이 결과는 유효하며, 해의 존재를 보장한다.
• 이 방법은 명시적 공식은 아니지만, 일반형 코어를 가진 약한 중성성 포함체의 존재를 구성적으로 보여준다.