[논문 리뷰] Existence of complete Lyapunov functions for semiflows on separable metric spaces

Mauro Patrão|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 27.

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한 줄 요약

이 논문은 분리 가능 거리 공간 위의 반유동에 대해 완전 리아푸노프 함수의 존재성을 증명한다. 이를 위해 시간-1 사상 $ \phi^1 $ 에 대한 완전 리아푸노프 함수 $ \ell $ 를 이용해 연속 함수 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ 를 구성한다. 주요 기여는 이러한 함수가 이 넓은 범주인 분리 가능 거리 공간 위의 반유동에 대해 존재한다는 것을 증명한 것으로, 이는 이전의 컴팩트 공간에 국한된 결과를 분리 가능 거리 공간으로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

The aim of this short note is to show how to construct a complete Lyapunov function of a semiflow by using a complete Lyapunov function of its time-one map. As a byproduct we assure the existence of complete Lyapunov functions for semiflows on separable metric spaces.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 공간에서의 완전 리아푸노프 함수 존재성 결과를 분리 가능 거리 공간으로 확장한다.
• 시간-1 사상을 이용한 구조적 방법을 통해 반유동에 대한 완전 리아푸노프 함수를 생성하는 방법을 수립한다.
• 동역학계의 기본 정리( Fundamental Theorem of Dynamical Systems )를 분리 가능 거리 공간 위의 반유동으로 일반화한다.
• 구성된 함수가 완전 리아푸노프 함수의 세 가지 공리(단조성, 체인 재진입 집합 위에서 이미지의 흔하지 않음, 수준집합이 체인 전이 성분임)를 모두 만족함을 확인한다.

제안 방법

• 시간-1 사상 $ \phi^1 $ 에 대한 완전 리아푸노프 함수 $ \ell $ 를 사용하여 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ 를 정의한다.
• 유계된 $ t \in [0,1] $ 에서 $ \ell \circ \phi^t $ 의 균일 연속성과 유한 부분덮개의 추론을 이용해 $ L $ 의 연속성을 증명한다.
• $ L(\phi^s(x)) = \int_s^{1+s} \ell(\phi^t(x)) \, dt $ 를 보여, 궤도를 따라 $ L $-값을 비교할 수 있도록 한다.
• 반유동과 사상의 체인 재진입 집합이 동일함($ \mathcal{R}_C(\phi^t) = \mathcal{R}_C(\phi^1) $) 이라는 사실을 이용해 두 집합 간의 관계를 규명한다.
• $ c \in \ell(\mathcal{R}_C(\phi^1)) $ 이면 $ L^{-1}(c) = \ell^{-1}(c) $ 임을 증명하여, 수준집합이 체인 전이 성분임을 보장한다.
• 분리 가능 거리 공간 위의 사상에 대해 완전 리아푸노프 함수의 존재성을 보장하는 허리의 결과를 활용하여 $ \ell $ 가 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반유동에 대한 완전 리아푸노프 함수는 시간-1 사상의 완전 리아푸노프 함수로부터 구성될 수 있는가?
• RQ2 시간-1 사상에 대한 완전 리아푸노프 함수의 존재성이 분리 가능 거리 공간 위의 반유동에 대해서도 동일하게 성립하는가?
• RQ3 반유동과 그 시간-1 사상의 체인 재진입 집합 및 체인 전이 성분은 동일한가?
• RQ4 적분 구성 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ 는 완전 리아푸노프 함수가 요구하는 성질을 유지하는가?
• RQ5 체인 재진입 집합이 $ L $ 에서의 이미지는 $[0,1]$ 에서 흔하지 않은가?

주요 결과

• 함수 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ 는 $ X $ 에서 $[0,1]$ 로의 잘 정의된 연속 함수이다.
• 체인 재진입 집합에 속하는 $ x \in \mathcal{R}_C(\phi^t) $ 에 대해, $ t \mapsto L(\phi^t(x)) $ 는 상수 함수이며, $ \mathcal{R}_C(\phi^t) $ 에 속하지 않는 $ x $ 는 엄격히 감소하는 함수이다.
• 이미지 $ L(\mathcal{R}_C(\phi^t)) = \ell(\mathcal{R}_C(\phi^1)) $ 는 $[0,1]$ 에서 희박한 집합이며, 완전 리아푸노프 함수의 핵심 조건을 만족한다.
• 각 $ c \in L(\mathcal{R}_C(\phi^t)) $ 에 대해 수준집합 $ L^{-1}(c) $ 는 $ \ell^{-1}(c) $ 와 같으며, 이는 $ \mathcal{R}_C(\phi^t) $ 의 체인 전이 성분이다.
• 이 구성은 $ L $ 가 완전 리아푸노프 함수의 세 가지 공리를 모두 만족함을 보장한다.
• 결과적으로, 모든 반유동에 대해 분리 가능 거리 공간 위에서 완전 리아푸노프 함수가 존재함을 보여주며, 이는 이전의 컴팩트 공간에 국한된 결과를 비컴팩트 환경으로 확장한 것이다.