[논문 리뷰] Existence of exponentially growing finite energy solutions for the charged Klein-Gordon equation on the De Sitter-Kerr-Newman metric

Nicolas Besset, Dietrich Häfner|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 전하, 질량, 각운동량이 작을 조건 하에서 데 시터-커어-뉴먼 시공간에서 전하를 가진 클라인-고든 방정식에 대해 유한 에너지의 지수적으로 증가하는 해의 존재를 확립한다. 프레드홀름 체계와 섭동 분석을 통해, 무질량이자 전하가 없는 경우의 영 잔여항이 전자기적 결합으로 인해 상반평면으로 이동함을 보이며, 이는 에너지가 $ e^{2\text{Im}(\sigma)t} $ 의 형태로 증가하는 성장 모드를 통해 불안정성을 초래한다.

ABSTRACT

We show the existence of exponentially growing finite energy solutions for the charged Klein-Gordon equation on the De Sitter-Kerr-Newman metric for small charge and mass of the field and small angular momentum of the black hole. The mechanism behind is that the zero resonance that exists for zero charge, mass and angular momentum moves into the upper half plane.

연구 동기 및 목표

• 데 시터-커어-뉴먼 계량에서 전하를 가진 클라인-고든 방정식에 대해 지수적으로 증가하는 유한 에너지 해의 존재를 조사한다.
• 장의 전하와 블랙홀의 전하 간의 결합으로 인해 발생하는 불안정성 메커니즘을 분석한다.
• 비회전적인 데 시터-라이스너-노르트스트롬의 경우에서의 결과를 섭동 이론을 통해 비틀림이 있는 데 시터-커어-뉴먼 시공간으로 확장한다.
• 작은 각운동량과 장 질량이 전하의 곱이 작을 경우 불안정성을 억제하지 않는다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 벡터 포텐셜 $ A = \frac{Q}{r} dt $ 와 결합 계수 $ s = qQ $ 를 사용하여 데 시터-커어-뉴먼 계량에서 전하를 가진 클라인-고든 방정식을 수립한다.
• 바시 및 다른 이들의 작업에 기반한 프레드홀름 체계를 적용하여 해석적 연산자 $ \hat{P}(\sigma, s, m, a) $ 의 스펙트럼 성질을 연구한다.
• 비틀림이 없는 경우에서 비틀림이 있는 경우로의 섭동을 다루기 위해 [HHV]의 영감을 받은 분해 기법을 사용한다.
• 연산자 $ \hat{P}(\sigma, s, m, a) $ 의 섭동 분석을 수행하여, 작은 비틀림 $ a $ 에서도 핵이 비자명하게 유지됨을 보인다.
• 르셰의 정리를 적용하여 상반평면에 있는 복소 주파수 $ \sigma $ 가 존재함을 증명하며, 이는 지수적 성장을 나타낸다.
• 해 $ v(t, r, \theta) = e^{-i\sigma t} w(r, \theta) $ 를 구성하고, 그 에너지 $ \dot{\mathcal{E}}(v) $ 가 모든 $ t > 0 $ 에서 유한하지만 시간에 따라 $ e^{2\text{Im}(\sigma)t} $ 의 형태로 지수적으로 증가함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데 시터-커어-뉴먼 시공간에서 전하를 가진 클라인-고든 방정식은 전하와 질량이 작을 경우 지수적으로 증가하는 유한 에너지 해를 갖는가?
• RQ2 전자기적 결합이 존재할 때 이러한 성장 모드의 기원은 무엇인가?
• RQ3 비전하성이고 비회전적인 경우의 영 잔여항은 전하와 비틀림에 의한 작은 섭동 하에서 어떻게 변화하는가?
• RQ4 블랙홀의 작은 각운동량 하에서도 이 불안정성은 견고한가?
• RQ5 이 불안정성은 데 시터-슈바르츠실트 경우의 파동 방정식 영 잔여항의 섭동으로 이해될 수 있는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $ |q| $, $ m^2 \leq c_0 q^2 $, 그리고 $ a^2 \leq c_0 q^2 $ 에 대해, $ \text{Im}(\sigma) \geq c_1 q^2 > 0 $ 인 복소 주파수 $ \sigma \in \mathbb{C} $ 가 존재하며, 이때 $ \partial_{\phi_*} = 0 $ 에 제한된 연산자 $ \hat{P}(\sigma, s, m, a) $ 의 핵은 비자명하다.
• 해에 관련된 에너지 $ \dot{\mathcal{E}}(v) $ 는 모든 $ t > 0 $ 에서 유한하지만, 시간에 따라 $ e^{2\text{Im}(\sigma)t} $ 의 형태로 지수적으로 증가한다.
• 불안정성은 전자기적 결합으로 인해 발생한다: 전하가 없고 비회전적인 경우의 영 잔여항이 $ s = qQ $ 항으로 인해 상반평면으로 이동한다.
• 작은 비틀림에 대해서도 결과는 안정적이며, $ a^2 = a_0^2 s^2 $ 의 방식으로 $ a $ 에 대한 섭동이 제어되며, 르셰의 정리에 의해 비자명한 핵이 유지됨을 보장한다.
• 해 $ w(r, \theta) $ 는 측도 $ \frac{\varpi^2}{\mu_a \kappa} dr d\omega $ 를 갖는 가중치가 부여된 $ L^2 $ 공간에 속하며, 이는 적분 가능성과 유한 에너지를 보장한다.
• 에너지 함수 $ \dot{\mathcal{E}}(v) $ 는 정의상 양이며 지수적으로 증가하므로, 아인슈타인-맥스웰-스칼라 장 동역학 하에서 시스템의 불안정성을 확인한다.