[논문 리뷰] Existence of extremal functions for a family of Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities

Xuexiu Zhong, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 원추형 도메인, 특히 $\mathbb{R}^N$를 포함한 넓은 범주에 속하는 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식에 대한 극값 함수의 존재성을 확립하며, 큰 매개변수 범위에서 최적 상수가 도달됨을 증명한다. 또한 가중 치수 공간의 가중 $L^r$ 공간으로의 컴팩트 임베딩을 위한 충분조건을 규명하여, 특이 가중치를 가진 비선형 타원형 방정식의 해 존재성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Consider the following inequalities due to Caffarelli, Kohn and Nirenberg {\it (Compositio Mathematica,1984):} $$\Big(\int_Ω\frac{|u|^r}{|x|^s}dx\Big)^{\frac{1}{r}}\leq C(p,q,r,μ,σ,s)\Big(\int_Ω\frac{| abla u|^p}{|x|^μ}dx\Big)^{\frac{a}{p}}\Big(\int_Ω\frac{|u|^q}{|x|^σ}dx\Big)^{\frac{1-a}{q}},$$ where $Ω\subset \R^N (N\geq 2)$ is an open set; $p, q, r, μ, σ, s, a$ are some parameters satisfying some balanced conditions. When $Ω$ is a cone in $\R^N$ (for example, $Ω=\R^N)$, we prove the sharp constant $C(p,q,r,μ,σ,s)$ can be achieved for a very large parameter space. Besides, we find some sufficient conditions which guarantee that the following Sobolev spaces $$W_μ^{1,p}(Ω),\; W_μ^{1,p}(Ω)\cap L^p(Ω), \; H^{1,p}(\R^N) $$ are compactly embedded into $L^r(\R^N, \frac{dx}{|x|^s})$ for some new ranges of parameters, where $\displaystyle W_μ^{1,p}(Ω)$ is the completion of $C_0^\infty(Ω)$ with respect to the norm $\displaystyle \Big(\int_Ω\frac{ | abla u|^p}{|x|^μ}dx\Big)^{\frac{1}{p}}. $ As applications, we also study the equation $$\displaystyle -div\Big(\frac{| abla u|^{p-2} abla u}{|x|^μ}\Big)=λV(x)|u|^{q-2}u, \;\;\; u\in W_μ^{1,p}(Ω)$$ under some proper conditions on $V(x)$.

연구 동기 및 목표

• 원추 도메인, 특히 $\mathbb{R}^N$를 포함한 일반적인 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식 가족에 대해 극값 함수의 존재성을 확립하는 것.
• 가중 치수 공간 $W_{\mu}^{1,p}(\Omega)$가 $L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$로 컴팩트하게 임베딩되는 데 필요한 충분조건을 새로운 매개변수 범위에서 규명하는 것.
• 극값 함수의 존재성을 활용하여 특이 가중치를 가진 비선형 타원형 방정식의 해 존재성을 연구하는 것: $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda V(x)|u|^{q-2}u$.

제안 방법

• Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식에 대한 극값 함수 존재성을 분석하기 위해 대칭화 및 변분 방법을 사용하는 것.
• 원래 부등식을 매개변수 $\mu, \sigma, \alpha, \beta$ 및 $\gamma = a\sigma + (1-a)\beta$를 포함하는 가중 노름 형태로 변환하는 것.
• Rellich-Kondrachov 정리와 컴팩트 임베딩 기준을 적용하여 가중 $L^r$ 공간으로의 임베딩의 컴팩트성을 확립하는 것.
• 비판점 이론을 통해 해의 존재성을 보장하기 위해 잠재력 $V(x)$에 대한 일반적 가정 $(H)$을 도입하는 것.
• Nehari 다양체 방법과 에너지 추정을 사용하여 제어된 에너지 수준을 가진 해의 수열을 구성하는 것.
• 다양한 도메인 유형(유계, 유한 측도, 또는 특정 감쇠 조건을 만족하는 경우)에서 적분 가능성 조건을 검증하여 $V(x) = |x|^{-\sigma}$에 대해 가정 $(H)$를 만족시키는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원추 도메인 또는 $\mathbb{R}^N$에서 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식의 최적 상수가 어떤 매개변수 조건에서 극값 함수에 의해 도달되는가?
• RQ2 어느 정도의 $p, q, r, \mu, \sigma, s$ 범위에서 임베딩 $W_{\mu}^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$가 컴팩트한가?
• RQ3 방정식 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda \, |x|^{-\sigma}|u|^{q-2}u$는 어떤 조건에서 제어된 에너지 수준을 가진 비자명한 해의 수열을 갖는가?
• RQ4 비판점 이론을 적용하기 위해 필요로 하는 가정 $(H)$의 유효성을 보장하기 위해 $V(x)$에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ5 비선형 항에서 $q$와 $p$의 상대적 크기에 따라 해 수열의 점근적 행동은 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 원추 도메인, 특히 $\mathbb{R}^N$에서 표준적인 균형 조건과 유계성 조건을 만족할 경우, Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식의 최적 상수는 넓은 매개변수 공간에서 극값 함수에 의해 도달된다.
• 특히 $\mu + p < N$ 이고 $\sigma < \mu + p$일 때, $W_{\mu}^{1,p}(\Omega)$에서 $L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$로의 컴팩트 임베딩이 새로운 매개변수 범위에서 확립된다.
• 만약 $q = p$이면, 방정식 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda \, |x|^{-\sigma}|u|^{p-2}u$는 $\lambda_n \to \infty$를 만족하는 고유값 수열을 갖는다.
• 만약 $q > p$ 이면, 해의 에너지 수준 $c_n \to \infty$를 만족하는 해의 수열이 존재하며, $q < p$ 이면 에너지 수준은 $c_n \to 0$으로 수렴한다.
• 적절한 매개변수 제약 조건 하에서, $V(x) = |x|^{-\sigma}$는 유계 도메인과 유한 측도 도메인 모두에서 가정 $(H)$를 만족하여 변분 방법의 적용이 가능하다.
• 극값 함수의 존재성과 컴팩트 임베딩 덕분에, Nehari 다양체 위에서 비판점 이론을 활용하여 비선형 타원형 방정식에 대해 무한히 많은 해를 구성할 수 있다.