[논문 리뷰] Existence of localised normal modes in nonlinear lattices

D. Hennig|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 25.

Nonlinear Photonic Systems인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 연속성의 소프트 또는 하드 온사이트 포텐셜을 가진 1차원 비선형 켈빈-고든 격자에서 정현파적이고 공간적으로 국소화된 해(정상 모드를 연상시키는)의 존재를 증명한다. 미분방정식의 비교 원리를 사용하여 각 격자 위치에서의 진동 진폭이 보조 선형 방정식의 해들 사이에 놓임을 보이며, 선형 포논 스펙트럼의 변두리 이하(이하) 또는 이하(이하)의 주파수를 가진, 같은 위상(소프트) 또는 반대 위상(하드)의 브리더가 존재함을 입증한다.

ABSTRACT

We prove the existence of exponentially localised and time-periodic solutions in general nonlinear Hamiltonian lattice systems. Like normal modes, these localised solutions are characterised by collective oscillations at the lattice sites with a uniform time-dependence. The proof of existence uses the comparison principle for differential equations to demonstrate that at each lattice site every half of the fundamental period of oscillations, contributing to localised solutions of the nonlinear lattice, is sandwiched between two oscillatory states of auxiliary linear equations. For soft (hard) on-site potentials the allowed frequencies of the in-phase (out-of-phase) localised periodic solutions lie below (above) the lower (upper) value of the linear spectrum of phonon frequencies. By varying a control parameter the exponential decay of the localised states can be tuned continuously.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 비선형 해밀토니안 켈빈-고든 격자 시스템에서 공간적으로 국소화되고 시간에 주기적인 해의 존재를 확립하는 것.
• 이러한 해(정상 모드를 연상시키는)가 선형 포논 스펙트럼의 변두리 근처에서 균일한 시간 의존성 진동을 보이는 조건을 분석하는 것.
• 소프트 및 하드 온사이트 포텐셜에서의 해 행동을 구분하여, 특히 포논 스펙트럼의 주파수 대비 국소화된 주파수의 위치에 대해 분석하는 것.
• 반동 해의 균일한 시간 의존성 근사가 스펙트럼의 변두리 근처에서의 해프로파일 수치 분석을 통해 검증하는 것.

제안 방법

• 일반 미분방정식의 비교 원리를 적용하여 각 격자 위치에서의 진동 진폭이 두 보조 선형 방정식의 해들 사이에 놓임을 유도한다.
• 비선형 켈빈-고든 격자의 해밀토니안 구조를 사용하며, $ U(0) = U'(0) = 0 $, $ U''(0) > 0 $ 를 만족하는 해석적이고 대칭적인 온사이트 포텐셜을 가정한다.
• 포텐셜을 비선형성의 특성에 따라 소프트(진폭 증가에 따라 주파수 감소) 또는 하드(진폭 증가에 따라 주파수 증가)로 분류하며, 이는 변곡점과 곡률 성질에 기반한다.
• 기본 브리더 주파수 $ \omega_b $ 가 선형 포논 주파수와 공진을 피하기 위한 조건을 유도하며, 모든 정수 $ m $ 에 대해 $ m\omega_b \neq \omega_{ph} $ 를 만족시킨다.
• 정확한 해와 근사 해의 프로파일 간의 $ L^\infty $ 및 $ L^2 $ 상대 노름 계수인 $ N_\infty $ 과 $ N_2 $ 를 사용하여 균일한 시간 의존성 근사의 정확도를 수치적으로 평가한다.
• 시그마-고든 및 $ \phi^4 $ 포텐셜에 대해 수치 시뮬레이션을 수행하여 반동 해의 프로파일을 비교하고, 반동 근처 및 포논 스펙트럼의 변두리 근처에서의 근사의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소프트 또는 하드 온사이트 포텐셜을 가진 일반적인 비선형 켈빈-고든 격자에서 시간에 주기적이고 공간적으로 국소화된 해가 존재하는가?
• RQ2 이러한 국소화된 해가 격자 위치 전역에서 거의 균일한 시간 의존성 진동을 보이는 조건은 무엇인가?
• RQ3 소프트 및 하드 포텐셜에서 같은 위상 또는 반대 위상 브리더의 주파수는 선형 포논 스펙트럼의 변두리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 포논 스펙트럼의 변두리 근처에서 균일한 시간 의존성 근사가 어느 정도 타당한가?
• RQ5 유효성 계수 $ N_\infty $ 와 $ N_2 $ 는 결합 강도 $ \kappa $ 와 브리더 주파수 $ \omega_b $ 에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 비선형 KG 격자에서 비교 원리를 사용하여 국소화되고 시간에 주기적인 해의 존재가 엄밀히 증명된다.
• 소프트 포텐셜의 경우, 선형 포논 스펙트럼의 하한 변두리 이하의 주파수로 같은 위상의 국소화된 해가 존재하며, 하드 포텐셜의 경우 상한 변두리 이상의 주파수로 반대 위상의 해가 존재한다.
• 수치 분석을 통해 포논 스펙트럼의 변두리 근처에 위치한 브리더가 (거의 완전히) 균일한 시간 의존성을 보이며, 존재 증명에서 사용된 근사가 검증됨을 확인한다.
• 유효성 계수 $ N_\infty $ 와 $ N_2 $ 는 반동 근처($ \kappa = 0 $)에서 최소가 되며, $ \omega_b $ 가 포논 스펙트럼의 변두리에 가까워질수록 감소한다.
• 시그마-고든 포텐셜의 경우 $ N_\infty $ 와 $ N_2 $ 는 중간 결합 강도에서 국소 최대를 보이며, $ \phi^4 $ 포텐셜의 경우 $ \kappa $ 가 증가함에 따라 단조 감소하여 스펙트럼의 변두리에서 0에 도달한다.
• 극한의 경우(예: $ \omega_b = 0.99 $, $ \kappa = 1.95 $), 근사 오차는 $ N_\infty = 0.0017 $ 로 매우 낮아 정확한 해와 근사 해의 프로파일 간의 뛰어난 일치를 나타낸다.