[논문 리뷰] Existence of measure-valued solutions to a complete Euler system for a perfect gas

Jan Březina|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 점성의 퇴화한 극한과 소산의 퇴화한 극한을 이용하여 3차원에서 이상기체에 대한 완전한 유동방정식 시스템에 대해 재정규화된 소산성 측도값(renormalized dissipative measure-valued, rDMV) 해의 존재성을 입증한다. 두 가지 다른 퇴화한 극한 절차는 점성의 퇴화한 극한으로서 엔트로피 수송을 고려한 라우지에르-스트로크스 방정식에서의 극한과, 브레너의 이속도 모델에서의 소산의 퇰로화한 극한이다. 주요 기여는 rDMV 해에 대해 약한-강한 유일성 원리의 증명으로, 이는 고전적 해가 존재할 경우 rDMV 해가 그와 거의 모든 곳에서 일치함을 보장한다.

ABSTRACT

The concept of renormalized dissipative measures-valued (rDMV) solutions to a complete Euler system for a perfect gas was introduced in [8] and further discussed in [9]. Moreover it was shown there that rDMV solutions satisfy the weak (measure--valued)--strong uniqueness principle that makes them a useful tool. In this paper we prove the existence of rDMV solutions. Namely, we formulate the complete Euler system in conservative variables usual for numerical analysis and recall the concept of rDMV solutions based on the total energy balance and renormalization of entropy inequality for the physical entropy presented in [8]. We then give two different ways how to generate rDMV solutions. First via vanishing viscosity limit using Navier-Stokes equations coupled with entropy transport and second via the vanishing dissipation limit of the two-velocity model proposed by H. Brenner. Finally, we recall the weak--strong uniqueness principle for rDMV solutions proved in [8] and [9].

연구 동기 및 목표

• 완전한 이상기체 유동방정식 시스템에 대해 재정규화된 소산성 측도값(rDMV) 해의 존재를 확립하기 위해.
• 압축성 온도방정식 흐름에서 진동과 특이성으로 인해 약한 해에 대해 유일성이 부족한 문제를 다루기 위해.
• 라우지에르-스트로크스 방정식에 인위적 점성과 엔트로피 수송을 도입한 극한과 브레너의 이속도 모델에서 소산의 퇰로화한 극한을 통해 두 가지 다른 퇴화한 극한 절차를 제공함으로써 rDMV 해를 구성하기 위해.
• rDMV 해에 대해 약한-강한 유일성 원리가 성립함을 증명하여, 고전적 해가 존재할 경우 그와 일치함을 보장하기 위해.
• 전체 에너지 균형과 재정규화된 엔트로피 부등식을 포함하여 측도값 해의 이론적 프레임워크를 확장하기 위해.

제안 방법

• 질량, 운동량, 전체 에너지의 보존형 변수로 완전한 온도방정식 시스템을 수립하고, 엔트로피는 재정규화된 부등식으로 제어된다.
• 전체 에너지 균형과 증가하는 볼록 함수 χ를 포함한 정규화된 엔트로피 부등식을 통해 rDMV 해를 정의한다.
• 인위적 점성과 엔트로피 수송을 고려한 라우지에르-스트로크스 방정식의 해의 극한을 통해 rDMV 해를 구성한다.
• 소산의 퇰로화한 극한을 고려한 브레너의 이속도 모델의 해의 극한을 통해 rDMV 해를 구성한다.
• 상대 에너지 추정과 상대 에너지 함수의 강한 강도를 이용하여 약한-강한 유일성 원리를 도출한다.
• 상대 에너지 부등식에 그론월라 부등식을 적용하여 rDMV 해가 고전적 해가 존재할 경우 그와 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라우지에르-스트로크스 방정식에 엔트로피 수송을 고려한 점성의 퇴화한 극한을 통해 이상기체에 대한 완전한 온도방정식 시스템에 대해 rDMV 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 브레너의 이속도 모델에서 소산의 퇴화한 극한을 통해 이상기체에 대한 rDMV 해를 생성할 수 있는가?
• RQ3 완전한 온도방정식 시스템에 대해 이상기체의 맥락에서 rDMV 해에 대해 약한-강한 유일성 원리가 성립하는가?
• RQ4 재정규화된 엔트로피 부등식은 rDMV 해의 안정성과 유일성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 전체 에너지 균형과 재정규화된 엔트로피 부등식이 함께 물리적으로 일관된 측도값 해를 어떻게 특징짓는가?

주요 결과

• 이상기체에 대한 완전한 온도방정식 시스템에 대해 rDMV 해의 존재성이 두 가지 독립적인 퇰로화한 극한 절차를 통해 입증되었다: 점성의 퇴화한 극한과 소산의 퇴화한 극한.
• rDMV 해는 전체 에너지 균형과 재정규화된 엔트로피 부등식을 만족하여 열역학적 일관성을 확보한다.
• 약한-강한 유일성 원리가 성립한다: 고전적 해가 존재할 경우 rDMV 해는 거의 모든 공간-시간 영역에서 그와 일치한다.
• rDMV 해에 대해 유도된 상대 에너지 부등식은 그론월라 부등식을 통해 오차 항을 흠집 없이 흡수할 수 있으며, 이는 극한 해의 강한 수렴을 이끈다.
• rDMV 해의 극한은 델타 함수(디르라크 측도)로 표현되며, 이는 밀도, 운동량, 전체 에너지가 고전적 해로의 L¹ 강한 수렴을 의미한다.
• 극한에서의 결함 측도는 퇴화하여, rDMV 해가 L¹ 노름에서 고전적 해로 강한 수렴함을 확인한다.