[논문 리뷰] Existence of mild solutions to Hilfer fractional evolution equations in Banach space

J. Vanterler da C. Sousa|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 05.

Nonlinear Differential Equations Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 힐러 분수형 진동 방정식에 대한 비순간적 충격을 고려하여 등급 해의 존재성을 증명한다. 등급 해는 등급 연속적인 $C_0$-반군과 쿠라토프스키 비준엄도를 이용하여 도출되며, 집합 수축 조건 하에서 고정점 이론을 적용하여 비선형 항과 충격 함수에 대한 적절한 리프시츠 조건과 컴팩턴스 조건 하에서 적어도 하나의 $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$-등급 해의 존재성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of mild solutions to Hilfer fractional equation of semi-linear evolution with non-instantaneous impulses, using the concepts of equicontinuous $C_{0}$-semigroup and Kuratowski measure of non-compactness in Banach space $Ω$.

연구 동기 및 목표

• 비선형 힐러 분수형 진동 방정식에 대한 새로운 클래스의 등급 해 존재성을 조사한다.
• 힐러 도함수와 비순간적 충격을 통합함으로써 기존 분수형 미분 방정식 결과를 확장한다.
• 쿠라토프스키 비준엄도와 등급 연속 반군을 이용하여 더 약한 컴팩턴스 조건 하에서도 존재성을 확립한다.
• 메모리 효과와 급격한 상태 변화를 포함하는 복잡한 동역학 시스템을 모델링하기 위한 이론적 기반을 제공한다.

제안 방법

• 힐러 분수도함수와 $C_0$-반군의 무한소 생성자에 의해 정의된 적분 표현을 통한 등급 해의 개념을 활용한다.
• 해 집합의 상대 컴팩턴스를 $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$ 공간에서 분석하기 위해 쿠라토프스키 비준엄도를 활용한다.
• 닫힘, 유계, 볼록인 부분집합에서 $k$-집합 수축 연산자를 통한 사도프스키 고정점 정리를 적용하여 고정점 존재성을 증명한다.
• 해 연산자를 두 부분으로 분해한다: 하나는 반군에 의존하고, 다른 하나는 비선형 및 충격 항에 의존한다.
• 레베그 수렴 정리와 반군의 성질을 이용하여 해 연산자의 등급 연속성을 확립한다.
• 비선형 함수 $f$와 충격 함수 $\zeta_k$에 대해 리프시츠 조건을 부과하여 연산자가 잘 정의되고 수축적임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비순간적 충격을 포함한 바나흐 공간에서의 힐러 분수형 진동 방정식에 대해 등급 해가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 완전한 컴팩턴스 조건이 필요 없이 쿠라토프스키 비준엄도를 어떻게 활용하여 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 등급 연속적인 $C_0$-반군이 해 연산자가 잘 정의된 상태를 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기존의 분수형 진동 방정식 연구에서의 가정보다 더 약한 조건 하에서도 등급 해 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$ 공간에서 해 연산자가 $k$-집합 수축적일 필요 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 해 연산자 $\mathfrak{F}$ 는 $k = \mathbf{M}(\mathbf{K} + 4\mathbf{L})$ 를 만족하는 $k$-집합 수축적임이 입증되어 고정점 존재성을 보장한다.
• 등급 해는 분수형 차수 $\gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha)$ 에 맞게 조정된 공간 $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$ 에서 존재한다.
• $\mathfrak{F}_2$ 는 적분 항을 나타내며, 이는 고정점 정리를 적용하기 위해 필수적인 등급 연속성을 가진다.
• $\mathfrak{F}$ 에 의해 어떤 유계 집합의 이미지의 비준엄도는 원래 집합의 비준엄도의 배수로 유계이므로, 이는 수축 성질을 확인한다.
• 비선형 함수 $f$ 및 $\zeta_k$ 에 대해 리프시츠 조건을 부과하고 반군이 등급 연속일 경우 존재 결과가 성립한다.
• 해 연산자의 등급 연속성과 비준엄도 추정에서의 극한 통과를 정당화하기 위해 레베그 수렴 정리를 이용한다.