[논문 리뷰] Existence of Minimizers for Fractional Variational Problems Containing Caputo Derivatives

Loïc Bourdin, Tatiana Odzijewicz외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 11.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 24인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 리만-리우빌 적분, 고전적 도함수, 캡토 분수도함수를 포함하는 분수계 변분문제에 대해 최소화자를 존재시킴을 확립한다. 정칙성, 볼록성, 강한 유계성 조건 하에서, 최소화 수열이 소볼레프 공간에서 약하게 수렴함을 증명하여, 변분법의 직접적 방법을 통해 최소화자의 존재를 보장한다.

ABSTRACT

We study dynamic minimization problems of the calculus of variations with Lagrangian functionals containing Riemann-Liouville fractional integrals, classical and Caputo fractional derivatives. Under assumptions of regularity, coercivity and convexity, we prove existence of solutions.

연구 동기 및 목표

• 분수계 변분문제에 대해 캡토 도함수, 리만-리우빌 적분, 고전적 도함수를 포함하는 최소화자의 존재를 확립한다.
• 표준 변분법 이론을 분수계 미분 연산자로 확장한다.
• 최소화자가 적절한 함수 공간에서 존재할 수 있는 충분조건—특히 볼록성, 정칙성, 강한 유계성—을 제공한다.
• 분수미분변분법에서 존재정리가 흔하지 않은 데 비해 필요한 최적성 조건에 대한 연구가 활발한 상황에서, 이 분야의 핵심적 격차를 메운다.

제안 방법

• 경계 조건이 만족되도록 하기 위해, 소볼레프 공간 $\textrm{W}^{1,p}_{a} = \{u \in \textrm{W}^{1,p} : u(a) = u_0\}$ 에서 변분 문제를 수립한다.
• 최소화 수열이 $\textrm{W}^{1,p}$ 에서 유계이고 약하게 전조밀함을 증명함으로써, 변분법의 직접적 방법을 적용한다.
• $1 < p \leq \infty$ 에 대해 $\textrm{W}^{1,p} \lhook\joinrel\twoheadrightarrow \mathscr{C}$ 라는 컴팩트 임bedding을 이용하여, 약수렴이 균일수렴을 암시함을 보장한다.
• 기존의 연산자 노름 추정을 활용하여, 리만-리우빌 및 캡토 분수적분·도함수 연산자의 $\textrm{L}^p$ 상에서의 유계성을 확립한다.
• $\|\dot{u}\|_{\textrm{L}^p}$ 에 대한 $\|u\|_{\textrm{L}^\infty}$, $\|I^\alpha_- [u]\|_{\textrm{L}^p}$, $\|{{}_{c}}D^\alpha_- [u]\|_{\textrm{L}^p}$ 에 대한 사전 유계성 추정을 유도하여 성장률을 제어한다.
• 횔더 부등식과 조건 $d_{1,k} + d_{2,k} + d_{3,k} + d_{4,k} < p$ 를 적용하여, 함수 $\mathcal{L}$ 의 강한 유계성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캡토 도함수를 포함하는 분수계 변분문제가 어떤 조건에서 최소화자를 가질 수 있는가?
• RQ2 혼합된 고전적 도함수, 리만-리우빌 적분, 캡토 분수도함수를 포함하는 함수에 대해 강한 유계성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 비국소 연산자를 포함하는 분수계 변분문제에 대해 변분법의 직접적 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ4 소볼레프 유형 함수 공간에서 최소화자가 존재하도록 보장하는 라그랑지안에 대한 충분조건은 무엇인가?
• RQ5 라그랑지안의 정칙성 및 성장 성질이 분수미분변분법에서 최소화자의 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 라그랑지안이 $L(x_1,x_2,x_3,x_4,t) \geq c_0\|x_3\|^p + \sum_{k=1}^N c_k \|x_1\|^{d_{1,k}}\|x_2\|^{d_{2,k}}\|x_3\|^{d_{3,k}}\|x_4\|^{d_{4,k}}$ 를 만족하고, $c_0 > 0$ 이며 $d_{1,k} + d_{2,k} + d_{3,k} + d_{4,k} < p$ 라면, 기능 $\mathcal{L}$ 은 $\textrm{W}^{1,p}_{a}$ 에서 강한 유계성을 가진다.
• 컴팩트 임bedding $\textrm{W}^{1,p} \lhook\joinrel\twoheadrightarrow \mathscr{C}$ 를 통해, $\textrm{W}^{1,p}_{a}$ 내 최소화 수열의 약수렴이 보장된다.
• $\|\dot{u}\|_{\textrm{L}^p} \to \infty$ 이고 오직 $\|u\|_{\textrm{W}^{1,p}} \to \infty$ 일 때 뿐이므로, 도함수의 성장과 전체 소볼레프 노름 간의 연관성이 확립된다.
• 유계 최소화 수열이 약수렴하는 부분수열을 가지며, 하한 연속성에 의해 극한이 최소화자임을 보장함으로써, 직접적 방법을 통해 최소화자의 존재가 입증된다.
• $p=2$ 인 경우 볼록성과 강한 유계성으로 인해, $\mathcal{L}(u) = \int_a^b \|u\|^2 + \|I^\alpha_- [u]\|^2 + \|\dot{u}\|^2 + \|{{}_{c}}D^\alpha_- [u]\|^2 \, dt$ 와 $u(a) = u_0$ 인 예제 문제는 최소화자를 가진다.
• 결과는 $p \in (1, \infty]$ 에 대해 유효하며, 증명은 $\textrm{L}^p$ 에서 분수적분 및 도함수 연산자의 유계성을 기반으로 한다.