[논문 리뷰] Existence of multi-solitons for the focusing Logarithmic Non-Linear Schrodinger Equation

Guillaume Ferriere|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 05.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 38인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$, $d \geq 1$에서 $\lambda > 0$인 집중형 로그 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 다중 솔리톤(다중 가우시안) 해와 다중 가우시안 해의 존재성을 확립한다. 점점 초초기적으로 감소하는 속도로 $H^1 \cap \mathcal{F}(H^1)$에서 이러한 해들이 $N$개의 가우시안의 합으로 수렴함을, 점근적 분석과 가중 $L^2$ 추정을 통해 증명하며, 이러한 해들이 이 수렴 행동으로 유일하게 특징지어짐을 추가로 보여준다.

ABSTRACT

We consider the logarithmic Schr{\\"o}dinger equation (logNLS) in the focusing regime. For this equation, Gaussian initial data remains Gaussian. In particular, the Gausson-a time-independent Gaussian function-is an orbitally stable solution. In this paper, we construct multi-solitons (or multi-Gaussons) for logNLS, with estimates in $H^1 \\cap \\mathcal{F} (H^1)$. We also construct solutions to logNLS behaving (in $L^2$) like a sum of $N$ Gaussian solutions with different speeds (which we call multi-gaussian). In both cases, the convergence (as $t \ ightarrow \\infty$) is faster than exponential. We also prove a rigidity result on these multi-gaussians and multi-solitons, showing that they are the only ones with such a convergence.

연구 동기 및 목표

• 집중형 로그 비선형 슈뢰딩거 방정식(logNLS)에 대해 $\mathbb{R}^d$, $d \geq 1$에서 $\lambda > 0$인 다중 솔리톤(다중 가우시안) 해를 구성하는 것.
• 서로 다른 속도를 갖는 $N$개의 가우시안 해의 합으로 점점 수렴하는 해의 존재를 확립하는 것, 이를 다중 가우시안이라 칭함.
• 이러한 다중 솔리톤 및 다중 가우시안 해가 $H^1 \cap \mathcal{F}(H^1)$에서 지수함수보다도 더 빠른 속도로 그 점점 수렴형태로 수렴함을 증명하는 것.
• 특정 초초기 수렴 행동을 보이는 해가 유일하게 다중 가우시안 또는 다중 솔리톤임을 보여주는 강성 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 에너지 공간 $W(\mathbb{R}^d)$에서의 섭동 접근법을 사용하여 다중 솔리톤을 구성하며, 로그-NLS 흐름 하에서 가우시안 초기 자료가 불변임을 활용한다.
• 각각의 중심, 속도, 위상가 다르게 진화하는 개별 가우시안 성분 $G_k(t,x)$로 해를 분해한다.
• 해의 각 부분이 잘 분리되어 있는 영역에서 $G \ln|G|^2$와 $\sum_k G_k \ln|G_k|^2$의 차이를 제어하기 위해 [18]의 점별 추정(보조정리 B.1)을 적용한다.
• 각 가우시안 피크 주변에 국한된 컷오프 함수 $\psi_j$를 사용한 가중 $L^2$ 노름을 통해 오차 추정을 국소화하고, $|x|$-가중 오차의 $L^2$-노름을 제어한다.
• 개별 가우시안 꼬리의 감쇠성과 중심 간의 분리 조건을 이용하여 전체 해와 그 점점 수렴형태 사이의 $|x|$-가중 차이의 $L^2$-노름에 대한 지수 감쇠 추정을 확립한다.
• 코로나리 3.9와 보조정리 3.8을 적용하여 가중 공간 내 오차 항의 $L^2$-노름을 유계화함으로써, 형태 $C_0 e^{-\lambda (v_* t)^2 / 4}$의 초초기 감쇠를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집중형 로그 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 $\lambda > 0$일 때 다중 솔리톤 해(다중 가우시안)가 존재하는가?
• RQ2 다른 속도를 갖는 $N$개의 가우시안 해의 합으로 점점 수렴하는 해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 해가 $H^1 \cap \mathcal{F}(H^1)$에서 그 점점 수렴형태로 수렴하는 속도는 어떠한가?
• RQ4 이러한 초초기 수렴 행동을 보이는 해를 특징짓는 강성 성질이 존재하는가?
• RQ5 비선형 로그 항은 동차 비선형성과 비교해 장기적인 역학에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 집중형 로그-NLS에서 $\lambda > 0$인 $\mathbb{R}^d$, $d \geq 1$에서 다중 솔리톤 해(다중 가우시안)가 존재하며, 이는 공간 $H^1 \cap \mathcal{F}(H^1)$에서 구성된다.
• 서로 다른 속도를 갖는 $N$개의 가우시안 해의 합으로 점점 수렴하는 해가 존재하며, 이를 다중 가우시안이라 칭한다.
• 다중 솔리톤 및 다중 가우시안 해가 그 점점 수렴형태로 수렴하는 속도는 지수함수보다 더 빠르며, $|x|$-가중 $L^2$-노름에서 형태 $C_0 e^{-\lambda (v_* t)^2 / 4}$로 유계화된다.
• 강성 결과가 증명되었으며, 이는 초초기 수렴 행동을 보이는 어떤 해도 다중 가우시안 또는 다중 솔리톤이어야 한다는 것을 의미한다.
• $|x|$-가중 차이의 $L^2$-노름이 다항식보다도 더 빠르게 감쇠함을 보여, 다중 가우시안 구조의 강한 국소화성과 안정성을 시사한다.
• 구성은 가우시안 초기 자료가 로그-NLS 흐름 하에서 가우시안을 유지한다는 사실에 의존하며, 비선형성은 로그 항을 통해 이 구조를 유지한다.