[논문 리뷰] Existence of multiple solutions of $p$-fractional Laplace operator with sign-changing weight function

Sarika Goyal, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 20.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 변동 부호를 가진 가중 함수를 가진 $p$-분수 라플라스 방정식의 비음성 해의 존재성과 다중성을 변분 방법과 네하리 만행 분석을 통해 조사한다. $1<\beta<p$ 인 $p$-하향선형 케이스에서 $\lambda < \lambda_1$ 일 때 적어도 하나의 비음성 해가 존재함을 입증하고, 큰 $\lambda$ 에서 네하리 만행에서 에너지 함수가 아래로 유계가 아님을 보여, 특정 조건 하에서 다중 해가 존재함을 시사한다.

ABSTRACT

In this article, we study the following $p$-fractional Laplacian equation \begin{equation*} (P_{\la}) \left\{ \begin{array}{lr} - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dy = \la |u(x)|^{p-2}u(x) + b(x)|u(x)|^{\ba-2}u(x)\; ext{in}\; \Om \quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n).\\ \end{array} \quad ight. \end{equation*} where $\Om$ is a bounded domain in $\mb R^n$ with smooth boundary, $n&gt; p\al$, $p\geq 2$, $\al\in(0,1)$, $\la&gt;0$ and $b:\Om\subset\mb R^n a \mb R$ is a sign-changing continuous function. We show the existence and multiplicity of non-negative solutions of $(P_{\la})$ with respect to the parameter $\la$, which changes according to whether $1

연구 동기 및 목표

• 부호가 변화하는 가중 함수 $b(x)$ 를 가진 $p$-분수 라플라스 방정식에 대한 비음성 약한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 파arameter $\lambda$ 와 지수 $\beta$ 가 $p$ 와 임계 소보레프 지수 $p^*$ 와 상대적으로 어떻게 해의 다중성에 影響을 미치는지 분석하는 것.
• $\lambda \to \lambda_1^-$ 일 때 해의 점근적 행동을 조사하는 것.
• 에너지 함수 $J_\lambda$ 가 네하리 만행에서 아래로 유계가 아닐 조건을 규명하여 다중성 가능성을 밝혀내는 것.
• 비존재 결과를 제공하고, 섬세화 맵 분석을 통해 네하리 만행의 구조를 특성화하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수 $J_\lambda$ 의 임계점을 섬세화 맵의 도함수의 부호에 따라 분류함으로써 네하리 만행 접근법을 활용한다.
• 에너지 함수 $J_\lambda(tu)$ 의 두 번째 도함수에 기반하여 네하리 만행을 $\mathcal{N}_\lambda^+$, $\mathcal{N}_\lambda^0$, $\mathcal{N}_\lambda^-$ 로 분할하기 위해 섬세화 맵 분석을 적용한다.
• 경계 조건이 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 에서 0이 되는 분수 스펙트럴 공간 $X_0 = W^{\alpha,p}_0(\Omega)$ 를 기초 함수 공간으로 사용한다.
• 특이 핵심 $K(x) = |x|^{-(n+p\alpha)}$ 를 통해 정의된 비국소 연산자 $\mathcal{L}_K$ 는 $p$-분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^\alpha_p$ 와 대응된다.
• 에너지 함수의 프레셰 미분 가능성을 포함한 변분 기법을 적용하여, 약한 해를 에너지 함수의 임계점으로 식별한다.
• 비교 논증과 변형 기법(예: 작은 $\epsilon h$ 를 추가)을 사용하여 네하리 집합의 경계 근처에서 $J_\lambda$ 의 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부호가 변화하는 가중 함수 $b(x)$ 를 가진 $p$-분수 라플라스 방정식이 적어도 하나의 비음성 약한 해를 가질 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\lambda$ 가 해의 존재성과 다중성에 어떻게 영향을 미치는가? 특히 하향선형 ($1<\beta<p$) 과 초선형 ($p<\beta<p^*$) 영역에서 어떻게 되는가?
• RQ3 $\lambda \to \lambda_1^-$ 일 때, 네하리 만행 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 상에서 에너지 함수 $J_\lambda$ 의 하한값은 어떻게 되며, 이는 해의 다중성에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 에서 에너지 함수 $J_\lambda$ 가 언제 아래로 유계가 아닐가? 이는 다중 해 존재성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 첫 번째 고유함수 $\phi_1$ 는 $\lambda_1$ 근처에서 $J_\lambda$ 의 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\lambda < \lambda_1$ 일 때 문제 $(P_\lambda)$ 는 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 상에서 $J_\lambda$ 를 최소화하는 적어도 하나의 비음성 해를 가진다.
• $\int_\Omega b(x)\phi_1^\beta dx > 0$ 이면 $\lim_{\lambda \to \lambda_1^-} \inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^+} J_\lambda(u) = -\infty$ 를 만족하며, 이는 하한의 붕괴를 시사한다.
• $\lambda > \lambda_1$ 일 때 $\int_\Omega b(x)\phi_1^\beta dx > 0$ 이면 $\inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^-} J_\lambda(u) = 0$ 이 성립하며, 이는 변형 및 정규화 논증을 통해 입증된다.
• $\tilde{\lambda}$ 가 존재하여 $\lambda > \tilde{\lambda}$ 일 때 $\inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^-} J_\lambda(u) = 0$ 이 되며, 이는 $\phi_1$ 에 대한 적분의 양성 조건 없이도 성립한다.
• 충분히 큰 $\lambda$ 에서 에너지 함수 $J_\lambda$ 는 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 에서 아래로 유계가 아니며, 이는 다중 해 존재를 시사한다.
• $\hat{\lambda}$ 가 존재하여 모든 $\lambda > \hat{\lambda}$ 에 대해 $J_\lambda$ 가 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 에서 아래로 유계가 아니며, 이는 큰 $\lambda$ 영역에서의 다중성 확인한다.