[논문 리뷰] Existence of Nontrivial Solutions for p-Laplacian Equations in {R}^{N}

Chungen Lıu, Youquan Zheng|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 R^N에서 부호가 변화하는 잠재력과 초임계적 p-초선형 비선형성을 갖는 p-Laplacian 방정식에 대해, 코homological linking 방법을 이용한 콘 위에서 비자명한 약한 해의 존재성을 확립한다. 주요 결과는 주어진 매개수 λ에 대해 모든 실수 값에서 이러한 해가 존재함을 증명하며, 주기성 가정 없이도 성립한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a p-Laplacian equation in {R}^{N}with sign-changing potential and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using the cohomological linking method for cones developed by Degiovanni and Lancelotti in 2007, an existence result is obtained. We also give a result on the existence of periodic solutions for one-dimensional $p$-Laplacian equations which can be proved by the same method.

연구 동기 및 목표

• R^N에서 부호가 변화하는 잠재력을 갖는 p-Laplacian 방정식에 대해 비자명한 약한 해의 존재성을 확립한다.
• 기존 결과를 일정한 부호를 갖는 잠재력과 주기적 설정을 초월하여 확장한다.
• Ambrosetti-Rabinowitz 조건보다 더 약한 성장 및 강제 조건 하에서도 해의 존재성을 증명한다.
• 코homological linking 방법이 부호가 변화하는 잠재력을 갖는 p-Laplacian 문제에 적용됨을 보여준다.
• 동일한 방법을 사용하여 일차원 주기적 해에 대한 평행 존재 결과를 제공한다.

제안 방법

• Degiovanni와 Lancelotti(2007)가 개발한 콘에 대한 cohomological linking 방법을 이용하여 에너지 함수의 임계점을 찾는다.
• Sobolev 공간 W^{1,p}(R^N) 위에서 에너지 함수 Φ(u) = (1/p)∫|∇u|^p + |u|^p dx − (λ/p)∫V(x)|u|^p dx − ∫F(x,u) dx 를 정의한다.
• 잠재력 U(x) = b(x) − λV(x) 와 비선형성 f(x,t) 에 대해 조건 (B), (V), 및 (f1)–(f4)를 부과하며, p-초선형 성장과 일반화된 볼록성 조건 (f4) 포함.
• 에너지 추정을 이용한 모순 추론을 통해 Palais-Smale 수열의 유계성을 증명함으로써 Cerami 조건을 확립한다.
• 선형화된 연산자의 고유값과 관련된 스펙트럼 사영을 이용해 콘 C_− 와 C_+ 를 정의하고 링킹 정리를 적용한다.
• 주기적 고유값 구조를 이용하여 일차원 주기적 경우에 적합한 Banach 공간 W^{1,p}(S^1) 를 정의하고 방법을 적응한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재력의 부호가 변화하고 주기성이 없을 때 R^N에서 p-Laplacian 방정식에 대해 비자명한 해를 보장할 수 있는가?
• RQ2 부호가 변화하는 잠재력과 p-초선형 비선형성을 갖는 p-Laplacian 문제에 대해 코homological linking 방법이 여전히 효과적인가?
• RQ3 클래식한 Ambrosetti-Rabinowitz 조건은 약화시킬 수 있는가? 여전히 해의 존재성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 매개수 λ의 모든 실수 값, 특히 λ = 0일 때도 존재 결과가 유지되는가?
• RQ5 동일한 방법을 사용하여 일차원 경우의 주기적 해 존재성을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 (B), (V), 및 (f1)–(f4) 하에 문제 (1.1)은 모든 λ ∈ R 에 대해 적어도 하나의 비자명한 약한 해를 갖는다.
• inf b(x) > −∞ 는 충분조건이며, b(x) ≥ b₀ > 0 인 요구 조건은 b와 V를 적절히 이동시킴으로써 완화될 수 있다.
• 일반화된 볼록성 조건 (f4) 는 Ambrosetti-Rabinowitz 조건 (1.3) 을 대체하며, 더 약한 성장 가정을 허용한다.
• 에너지 함수에 대해 Cerami 조건이 검증되었으며, 이는 유계 Palais-Smale 수열의 수렴성을 보장한다.
• 방법은 일차원 주기적 p-Laplacian 방정식 (5.22) 에 대해 그대로 적용되며, 모든 λ ∈ R 에 대해 비자명한 해를 얻는다.
• V⁺(x) ≡ 0 이거나 λ < λ₁ 일 때도 결과가 성립하며, 콘 구조를 C₋ = {0} 과 C₊ = W^{1,p}(S¹) 로 조정함으로써 달성된다.