[논문 리뷰] Existence of periodic orbits near heteroclinic connections

Giorgio Fusco, Giovanni F. Gronchi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 29.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 시스템과 타원형 편미분방정식에서 이질적 연결 근처의 주기적 궤도가 존재함을 대칭 변분적 접근을 통해 증명한다. 반사 대칭 하에서 작용 함수를 최소화함으로써, 유한차원 및 무한차원 설정 모두에서 $T$-주기적 해가 잠재력 $W$의 두 개의 서로 다른 전역 최솟값을 연결하는 이질적 궤도로 국소적으로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a potential $W:R^m ightarrow R$ with two different global minima $a_-, a_+$ and, under a symmetry assumption, we use a variational approach to show that the Hamiltonian system \begin{equation} \ddot{u}=W_u(u), \hskip 2cm (1) \end{equation} has a family of $T$-periodic solutions $u^T$ which, along a sequence $T_j ightarrow+\infty$, converges locally to a heteroclinic solution that connects $a_-$ to $a_+$. We then focus on the elliptic system \begin{equation} Δu=W_u(u),\;\; u:R^2 ightarrow R^m, \hskip 2cm (2) \end{equation} that we interpret as an infinite dimensional analogous of (1), where $x$ plays the role of time and $W$ is replaced by the action functional \[J_R(u)=\int_R\Bigl(\frac{1}{2}\vert u_y\vert^2+W(u)\Bigr)dy.\] We assume that $J_R$ has two different global minimizers $\bar{u}_-, \bar{u}_+:R ightarrow R^m$ in the set of maps that connect $a_-$ to $a_+$. We work in a symmetric context and prove, via a minimization procedure, that (2) has a family of solutions $u^L:R^2 ightarrow R^m$, which is $L$-periodic in $x$, converges to $a_\pm$ as $y ightarrow\pm\infty$ and, along a sequence $L_j ightarrow+\infty$, converges locally to a heteroclinic solution that connects $\bar{u}_-$ to $\bar{u}_+$.

연구 동기 및 목표

• 잠재력 $W$가 두 개의 서로 다른 전역 최솟값 $a_-$와 $a_+$를 가지는 해밀턴 시스템에 대해 주기적 해의 존재를 확립하는 것.
• 잠재력 $W$가 함수 $u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^m$ 위에서의 작용 함수 $J_{\mathbb{R}}$로 대체되는 무한차원 설정으로 존재 결과를 확장하는 것.
• 주기 $L \to \infty$일 때 이러한 주기적 해가 최솟값 $\bar{u}_-$와 $\bar{u}_+$를 연결하는 이질적 해로 국소적으로 수렴함을 보이는 것.
• 유한차원 조건 (1.3)의 직접적 대응이 없는 무한차원 케이스에서의 도전 과제를 대칭성과 대칭 함수 클래스 내에서의 최소화를 통해 극복하는 것.

제안 방법

• 반사 대칭 $\gamma$를 $\mathbb{R}^m$에 도입하여 $W(\gamma u) = W(u)$ 및 $\gamma a_- = a_+$를 만족시키며, $u(-t) = \gamma u(t)$를 만족하는 $\gamma$-등변 매핑으로의 제약을 두는 것.
• $T$-주기적 $H^1$-함수들 중에서 대칭 클래스 내에서 작용 함수 $J_{(0,T)}(u) = \int_0^T \left( \frac{1}{2}|\dot{u}|^2 + W(u) \right) dt$ 를 최소화하여 주기적 해를 구성하는 것.
• 무한차원 케이스에서는 $L$-주기적 매핑 $u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^m$에 대해 $y \to \pm\infty$에서 $\bar{u}_-$와 $\bar{u}_+$에 연결되는 조건 하에 작용 함수 $J_{\mathbb{R}}(u) = \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{1}{2}|u_y|^2 + W(u) \right) dy$ 를 최소화하는 것.
• $T_j \to \infty$ 또는 $L_j \to \infty$ 인 수열을 따라 주기적 해가 국소적으로 $a_-$에서 $a_+$로 연결되는 이질적 해(유한차원 케이스) 또는 $\bar{u}_-$에서 $\bar{u}_+$로 연결되는 이질적 해(무한차원 케이스)로 수렴함을 보이기 위해 컴 pactness 및 수렴 성립을 적용하는 것.
• 편미분 $v_j = u_j - \bar{u}$ 에 대한 에너지 추정과 감쇠 경계를 활용하여, $\bar{u}'$의 지수 감쇠 및 $W_{uuu}$의 경계를 이용해, 최소화 수열이 이질적 프로파일에서 멀리 떨어지지 않음을 보여주는 모순 추론을 수행하는 것.
• 에너지 하한 기반의 모순 추론을 적용: 만약 최소화 수열이 이질적 해로 수렴하지 않는다면, 에너지 차이 $J_{\mathbb{R}}(u_j) - c_0$ 는 양수로 하한이 유지되며, 이는 최소값으로의 수렴과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기 $T \to \infty$일 때, 해밀턴 시스템 $\ddot{u} = W_u(u)$ 의 주기적 해가 두 개의 서로 다른 전역 최솟값 $a_-$와 $a_+$를 연결하는 이질적 궤도로 수렴할 수 있는가?
• RQ2 잠재력 $W$가 작용 함수 $J_{\mathbb{R}}(u) = \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{1}{2}|u_y|^2 + W(u) \right) dy$ 로 대체되는 무한차원 설정에서도 이러한 주기적 궤도의 존재성이 유지되는가?
• RQ3 무한차원 케이스에서 (1.3)의 직접적 대응이 없을 경우, 주기적 해의 존재를 보장하기 위해 어떤 방법을 사용할 수 있는가?
• RQ4 반사 대칭은 주기적 궤도를 안정화시키고 이질적 해로의 수렴을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이질적 프로파일에서 멀리 떨어진 곳에 최소화 수열이 집중되지 않도록 보장하기 위해 에너지 차이 $J_{\mathbb{R}}(u) - c_0$ 에 대한 균일한 하한을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 유한차원 해밀턴 시스템 $\ddot{u} = W_u(u)$ 에서 반사 대칭과 $a_\pm$의 비퇴화 조건 하에서, $T_j \to \infty$일 때 $a_-$에서 $a_+$로 연결되는 이질적 해로 국소적으로 수렴하는 $T$-주기적 해의 가속 $u^T$ 가 존재한다.
• 무한차원 설정에서, 타원형 시스템 $\Delta u = W_u(u)$ 는 $L_j \to \infty$일 때 $\bar{u}_-$에서 $\bar{u}_+$로 연결되는 이질적 해로 국소적으로 수렴하는 $L$-주기적 해의 가속 $u^L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^m$ 를 가진다.
• 수렴은 공간적으로 국소적이며 컴 pact 집합에서 균일하며, 주기적 해는 반사 $\gamma$ 에 대해 대칭적이며 $u(-x) = \gamma u(x)$ 를 만족한다.
• 만약 $\|u - \bar{u}_\pm(\cdot - r)\| \geq p$ 라면, 에너지 차이 $J_{\mathbb{R}}(u) - c_0$ 는 $\frac{1}{4}p^2$ 로 하한이 유지되며, 이는 최소화 수열이 이질적 프로파일에서 멀리 떨어지지 않음을 방지한다.
• 최소화 수열이 이질적 해로 수렴하지 않는다고 가정할 경우, 에너지 추정을 통해 $J_{\mathbb{R}}(u_j) - c_0 \geq \gamma^2 p^2 / 16 > 0$ 이 되며, 이는 $J_{\mathbb{R}}(u_j) \to c_0$ 와 모순된다.
• 경계 조건 (1.3)에 의존하지 않기 위해 대칭성과 대칭 함수 클래스 내에서의 최소화를 사용함으로써, 무한차원 케이스에서의 비콤팩트성 문제를 우회한다.