[논문 리뷰] Existence of Positive Solutions for a Nonlinear Third-order Integral Boundary Value Problem

Cheikh Guendouz, Faouzi Haddouchi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 26.

Nonlinear Differential Equations Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Krasnoselskii의 고정점 정리(원판 위에서)를 이용하여 적분 경계 조건을 가진 비선형 제3차 두점 경계값 문제에 대해 최소한 하나의 양해를 존재함을 증명한다. 분석은 초선형 및 하위선형 비선형성 모두를 포함하며, 비선형성 f에 대한 표준 성장 조건과 가중 함수 g에 대한 적분 가능성 제약 조건 하에서 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of at least one positive solution for a nonlinear third-order two-point boundary value problem with integral condition. By employing the Krasnoselskii's fixed point theorem on cones, the existence results of the problem are established.

연구 동기 및 목표

• 적분 경계 조건을 가진 비선형 제3차 두점 경계값 문제에 대한 양해 존재성을 조사한다.
• 경계 조건에 적분 조건을 통합하여 기존의 제3차 BVP 결과를 확장한다.
• 비선형성 f에 대한 초선형 및 하위선형 성장 가정 하에서 존재 결과를 수립한다.
• 고정점 이론을 원판에서 응용하여 최소한 하나의 양해 존재성을 증명한다.
• 위상적 방법을 통해 양해 존재성을 보장하는 f와 g에 대한 충분 조건을 제공한다.

제안 방법

• Banach 공간의 연속 함수 공간에서 Krasnoselskii의 고정점 정리를 원판 위에 적용하여 양해 존재성을 분석한다.
• 경계 조건을 만족하는 음이 아닌 볼록 함수로 구성된 원판 K를 C[0,1] 공간에 정의한다.
• BVP와 관련된 그린 함수를 기반으로 A: K → K의 완전 연속 연산자 A를 구성한다.
• 그린 함수 G(t,s)에 대한 점별 추정을 도출하여 연산자 A의 유계성과 양성을 보장한다.
• A(u)의 노름 추정을 이용하여 원판 압축 및 확장 고정점 정리를 적용한다.
• f에 대한 충분 조건(초선형 또는 하위선형)과 g에 대한 조건(비음수이며 ∫₀¹ t²g(t)dt < 1)을 수립하여 원판 내 고정점 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 소스 항 f(u)를 가진 제3차 적분 경계값 문제는 어떤 조건에서 최소한 하나의 양해를 가질 수 있는가?
• RQ2 f(u)의 초선형 및 하위선형 성장 행동은 양해 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 Krasnoselskii의 고정점 정리(원판 위에서)는 제3차 BVP에 적분 경계 조건이 있는 경우 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 가중 함수 g(t)는 양해 존재성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 u(0)=u′(0)=0 및 u(1)=∫₀¹ g(s)u(s)ds의 경계 조건은 해 공간의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 초선형 f(f₀=∞, f∞=0)의 경우, f(u)가 0 근처에서 선형보다 빠르게 증가하고 무한대에서 선형보다 느리게 증가할 조건 하에 문제는 최소한 하나의 양해를 가진다.
• 하위선형 f(f₀=0, f∞=∞)의 경우, f(u)가 0 근처에서 선형보다 느리게 증가하고 무한대에서 선형보다 빠르게 증가할 조건 하에 문제 역시 최소한 하나의 양해를 가진다.
• 해 존재 결과는 그린 함수 및 연산자 노름 추정을 이용한 원판 압축 및 확장 정리에 기반한다.
• 증명은 원판 K 내에 두 개의 내포된 구역 Ω₁과 Ω₂를 구성함에 따라 이루어지며, ∂Ω₁에서 ||Au|| ≥ ||u|| 이고 ∂Ω₂에서 ||Au|| ≤ ||u|| 임을 보인다.
• 그린 함수 G(t,s)는 [θ,1−θ]×[0,1]에서 명시적으로 아래로 유계이며, 이는 Au(t)에 대한 하한 추정을 가능하게 한다.
• 이론적 결과를 확인하기 위해 두 가지 예시를 제시한다: 초선형인 f(u)=u²eᵘ 및 하위선형인 f(u)=√u+ln(1+u)이며, 양측 모두 요구 조건을 만족한다.