[논문 리뷰] Existence of positive solutions for nonlinear Kirchhoff type problems in R^3 with critical Sobolev exponent and sign-changing nonlinearities

Gongbao Li, Ye Hongyu|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 29.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 9인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^3$에서 임계 스об올레프 성장($u^5$)과 부호가 변화하는 비선형성을 갖는 비선형 킬라흐프형 방정식에 대한 양해를 존재함을 확립한다. 변분 방법과 농도-콤���크턴스 추론을 사용하여, 비선형성 $f(x,u)$에 적절한 조건이 만족될 경우 양해를 갖는 기저 해가 존재함을 증명하며, 이는 이전의 초임계 문제에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the following nonlinear problem of Kirchhoff type with critical Sobolev exponent: -\left(a+b\ds\int_{\R^3}|D u|^2 ight)Δu+u=f(x,u)+u^{5}, u\in H^1(\R^3), u>0, $x\in \R^3$ where a,b>0 are constants. Under certain assumptions on the sign-changing function $f(x,u)$, we prove the existence of positive solutions by variational methods. Our main results can be viewed as a partial extension of a recent result of He and Zou in [17] concerning the existence of positive solutions to the nonlinear Kirchhoff problem \left(\varepsilon^2a+\varepsilon b\ds\int_{\R^3}|D u|^2 ight)Δu+V(x)u=f(u), u\in H^1(\R^3), u>0, $x\in \R^3$, where $\varepsilon>0$ is a parameter, $V(x)$ is a positive continuous potential and $f(u) hicksim |u|^{p-2}u$ with $4

연구 동기 및 목표

• 임계 스오보레프 지수($u^5$)와 부호가 변화하는 비선형성을 갖는 $ℝ^3$에서 킬라흐프형 방정식에 대한 양해의 존재를 확립한다.
• 임계 성장과 부호가 변화하는 가중치를 포함하여 이전의 초임계 킬라흐프 문제에 대한 결과를 확장한다.
• 비선형성 $f(x,u)$에 대한 약한 가정 하에 문제의 변분 구조를 분석하며, 성장 조건과 암브로세티-라빈코비치 유형 부등식을 포함한다.
• 임계 지수 문제의 맥락에서 마운틴 패스 정리와 $(PS)_c$ 조건을 사용하여 기저 해의 존재를 증명한다.
• 강한 최대원리에 기반하여 기저 해가 엄격하게 양임을 보인다.

제안 방법

• 에너지 함수 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 + \frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb{R}^3}|Du|^2\right)^2 - \int_{\mathbb{R}^3} F(u) - \frac{1}{6}\int_{\mathbb{R}^3} (u^+)^6$에 대한 임계점 문제로 문제를 공식화한다.
• 비선형성 $f(t)$에 대한 조건 $(f_1)$--$(f_4)$ 하에서 마운틴 패스 정리를 적용하여 함수 $I$에 대한 $(PS)_c$ 수열을 찾는다.
• 에너지 추정을 통해 에너지에서의 분산과 분열을 배제함으로써 농도-콤팩트성 추론을 사용하여 $(PS)_c$ 조건을 증명한다.
• 이동 불변성과 약한 수렴성을 활용하여 이동된 수열 $v_n = u_n(\cdot + y_n)$의 비자명한 약한 극한 $v$를 추출하며, 이는 $I$의 임계점이다.
• 함수 $f$의 성질과 $L^6$ 수렴성을 이용하여 약한 극한 $v$가 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 강한 수렴성을 갖는다는 것을 증명한다.
• 비자명한 임계점 집합 위에서 에너지 함수를 최소화하고 강한 최대원리를 적용하여 양기저해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부호가 변화하는 비선형성 $f(x,u)$에 대해 $ℝ^3$에서 임계 성장을 갖는 킬라흐프형 방정식이 양해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 임계 비선형성 $u^5$와 부호가 변화하는 가중치를 갖는 킬라흐프 방정식에 대해 기저 해의 존재를 확보할 수 있는가?
• RQ3 임계 성장과 비국소 항이 존재하는 상황에서 관련 에너지 함수에 대해 $(PS)_c$ 조건이 성립하는가?
• RQ4 부호가 변화하는 가중치 $f_\lambda(x)$의 존재가 해의 존재성과 양성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 최대원리 추론을 통해 기저 해가 엄격하게 양임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ℝ^3$에서 임계 스오보레프 지수 $u^5$와 부호가 변화하는 비선형성 $f(x,u)$를 갖는 킬라흐프형 방정식에 대해 양기저해의 존재를 증명한다.
• 조건 $(f_1)$--$(f_4)$ 하에서 에너지 함수에 대한 $(PS)_c$ 수열이 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 강한 수렴성을 갖는다. 이는 비자명한 임계점의 존재를 보장한다.
• 마운틴 패스 해의 에너지 수준 $c$는 $0 < c < c^*$를 만족하며, 여기서 $c^*$는 비자명한 해 위에서 에너지 함수의 하한이다.
• 강한 최대원리에 의해 $\langle I'(u), u^- angle = 0$이면 $u^- = 0$임을 유도함으로써 기저 해는 $ℝ^3$에서 엄격하게 양이다.
• 파라미터 $\lambda$가 존재하는 경우 에너지 수준 $c_\lambda$는 $c_\lambda \geq -C_0 \lambda^{\frac{4}{4-p}} + c^*$를 만족하며, 농도가 발생할 경우 모순이 발생하므로 콤팩트성을 보장한다.
• 헤와 조우의 이전 결과를 확장하여, 3차원 설정에서 부호가 변화하는 비선형성과 임계 성장을 허용한다.