[논문 리뷰] Existence of solution for a class of fractional Hamiltonian systems

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 23.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법을 사용하여 전체 실수선 위의 분수형 해밀턴계에 대해 비자명한 약한 해가 존재함을 증명한다. 새로운 컴팩트 임bedding 결과를 증명하고 팔라이스-스미스 조건을 확인함으로써, 강제성과 비임계 성장 조건을 만족시키는 조건 하에서 산맥 길이 정리(mountain pass theorem)를 적용한다.

ABSTRACT

In this work we want to prove the existence of solution for a class of fractional Hamiltonian systems given by {eqnarray*}_{t}D_{\infty}^α(_{-\infty}D_{t}^αu(t)) + L(t)u(t) = & abla W(t,u(t)) u\in H^α(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{N}) {eqnarray*}

연구 동기 및 목표

• 전체 실수선 위에 정의된 분수형 해밀턴계의 비자명한 약한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 유계가 아닌 도메인에서의 소볼레프 임베딩의 컴팩트성 부족 문제를 해결하기 위해 적절한 분수 슈바르츠 공간 프레임워크를 구성하는 것.
• 이전 연구에 영감을 얻은 새로운 컴팩트 임베딩 결과를 사용하여 분수 설정에서 팔라이스-스미스 조건을 검증하는 것.
• 잠재력에 대한 일반적인 성장 및 강제성 조건 하에서 분수 슈바르츠 공간 위에 정의된 함수에 대해 산맥 길이 정리를 적용하는 것.
• 비주기적이고 비자기적인 비선형성을 갖는 분수형 해밀턴계에 대해 변분 방법을 고전적 두 번째 차수 시스템에서 분수 차수 시스템으로 확장하는 것.

제안 방법

• 부드럽고 컴팩트하게 지지된 함수들의 닫힘으로서 분수 슈바르츠 공간 $ X^\beta = I_{-\frown}^{\beta}(\bR) $ 를 정의하고, 노름 $ \|u\|_{X^\alpha}^2 = \|u\|_{L^2}^2 + \|_\infty D_t^\alpha u\|_{L^2}^2 $ 에서 정의한다.
• 에너지 함수 $ I(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{X^\alpha}^2 - \int_\bR W(t,u(t))\,dt $ 를 도입하며, 이 함수의 임계점은 시스템의 약한 해에 해당한다.
• 유계성과 강한 수렴을 통해 컴팩트 임베딩을 이용하여 팔라이스-스미스 수열의 유계성과 함께 함수 $ I $ 가 (PS) 조건을 만족함을 증명한다.
• 산맥 길이 기하학을 확립한다: $ I(0) = 0 $, $ \|u\|_{X^\alpha} = \rho > 0 $ 에서 $ I(u) > 0 $, 그리고 어떤 $ e \in X^\alpha $ 에 대해 $ \|e\|_{X^\alpha} > \rho $ 이면 $ I(e) < 0 $.
• 레마 2.2의 컴팩트 임베딩 결과를 사용하여 $ u_k \to u $ in $ L^2(\bR, \bR^n) $ 를 보이고, 이는 비선형 항의 수렴을 가능하게 한다.
• 산맥 길이 정리를 적용하여 임계값 $ c > 0 $ 가 존재함을 결론 내리며, 이는 비자명한 약한 해의 존재를 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비주기적이고 비자기적인 계수를 갖는 $ \mathbb{R} $ 위의 분수형 해밀턴계가 비자명한 약한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 소볼레프 임베딩의 컴팩트성 부족으로 인해 유계가 아닌 도메인에서 산맥 길이 정리를 분수형 해밀턴계에 적용할 수 있는가?
• RQ3 팔라이스-스미스 조건을 확보하기 위해 분수 슈바르츠 공간의 맥락에서 어떻게 컴팩트 임베딩 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ4 잠재력 $ W $ 와 행렬 $ L(t) $ 에 대해 비자명한 해의 존재를 보장하기 위한 성장 및 강제성 조건는 무엇인가?
• RQ5 대칭적인 왼쪽-오른쪽 도함수를 갖는 분수 차수 시스템으로 고전적 두 번째 차수 시스템에 대한 변분 방법을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 가정 (L), (W₁), 및 (W₂) 하에서 분수형 해밀턴계에 관련된 함수 $ I $ 는 (PS) 조건을 만족하며, 팔라이스-스미스 수열의 순차적 컴팩트성을 보장한다.
• 새로운 컴팩트 임베딩 결과가 증명된다: $ u_k \rightharpoonup u $ in $ X^\alpha $ 이면 $ u_k \to u $ in $ L^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n) $ 이다. 이는 비선형 항을 다루는 데 핵심적이다.
• 산맥 길이 기하학이 검증된다: $ \rho > 0 $ 과 $ \beta > 0 $ 가 존재하여 $ \|u\|_{X^\alpha} = \rho $ 이면 $ I(u) \geq \beta > 0 $ 이고, 어떤 $ e \in X^\alpha $ 에 대해 $ \|e\|_{X^\alpha} > \rho $ 이면 $ I(e) < 0 $ 이다.
• 산맥 길이 정리를 통해 비자명한 약한 해의 존재가 입증되며, 임계점 $ u \in X^\alpha $ 가 존재하여 $ I(u) = c > 0 $, $ I'(u) = 0 $ 이다.
• 조건 $ \alpha \in (1/2, 1) $ 하에서, $ L(t) $ 가 정부호이자 강제성 조건을 만족하고, $ W $ 가 $ \mu $-초평면 성장 조건을 만족하며, 원점 근처에서 작다는 조건을 만족할 경우 결과가 성립한다.
• 산맥 길이 수준 $ c $ 가 $ \beta > 0 $ 로 아래에서 유계이므로, $ I(0) = 0 $ 이므로 해는 비자명하다.