[논문 리뷰] Existence of solutions for fractional p-Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities

Wenjing Chen|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^N$에서 일반화된 콘차르 비선형성을 갖는 분수형 $p$-키르히호프 유형 방정식에 대해 앙브로세티-라비노비츠 조건을 요구하지 않고 비자명한 약한 해의 존재성을 확립한다. 변분 방법과 임계점 이론을 적용하여, 비선형성의 일반적인 성장 조건과 열악한 키르히호프 함수를 가정할 때, 임의의 $λ > 0$에 대해 최소한 하나의 비자명한 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this article, we establish the existence of solutions to the fractional $p-$Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities without assuming the Ambrosetti-Rabinowitz condition.

연구 동기 및 목표

• 분수형 $p$-키르히호프 방정식의 일반화된 콘차르형 비선형성을 갖는 클래스에 대해 $ℝ^N$에서 비자명한 약한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 이러한 문제에 대해 변분 방법에서 일반적으로 가정되는 표준적인 앙브로세티-라비노비츠 (AR) 조건을 제거하는 것.
• 키르히호프 함수 $M$과 잠재력 $V(x)$에 대해 일반적인 조건을 고려하여 문제를 분석하는 것, 특히 0에서의 열악성 가능성을 포함한다.
• 비국소적 상호작용을 갖는 더 넓은 범주에 걸쳐 변분 기법의 적용 가능성을 확장하는 것.
• 콘차르 항 $ℓ_\mu * F(u)$ 를 통해 비유계 영역에서 임계 또는 부분임계 성장 조건을 갖는 해를 연구하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 분수형 $p$-키르히호프 방정식과 관련된 에너지 함수 $ℓ_\lambda$ 의 임계점 문제로 문제를 공식화하는 것.
• 산맥 정리와 에켈란드의 변분 원리를 사용하여 함수의 임계점을 찾는 것.
• 네하리 만만을 활용하여 함수의 하한을 특성화하고 최소화 수열의 행동을 제어하는 것.
• 팔라이스-스미스 수열의 강한 수렴성을 보장하기 위해 분수형 $p$-라플라스 연산자의 비선형성을 다루기 위해 시몬 부등식을 적용하는 것.
• 가중 리만-레베그 및 소볼레프 공간에서의 강한 수렴성과 약한 수렴성 논리를 통해 컴팩턴스를 확립하는 것.
• 비국소항 $ℓ_\mu * F(u)$ 의 유계성과 연속성을 보장하기 위해 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 앙브로세티-라비노비츠 조건을 가정하지 않고도 분수형 $p$-키르히호프 방정식에 대해 콘차르 비선형성을 갖는 비자명한 해의 존재성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 키르히호프 함수 $M$, 잠재력 $V(x)$, 비선형성 $f(u)$ 에 어떤 조건이 성립하면 $ℝ^N$에서 약한 해의 존재성이 보장되는가?
• RQ3 0에서의 $M$의 열악성이 해의 존재성과 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 리프스 잠재력 $ℓ_\mu$ 는 비국소항의 구조와 임베딩의 컴팩턴스에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비선형성이 비균일적이고 비표준일 경우, 비유계 영역에서 컴팩트 임베딩의 부재를 고려하여 변분 기법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 적절한 가정 하에 임의의 $λ > 0$ 에 대해 일반화된 콘차르 비선형성을 갖는 분수형 $p$-키르히호프 방정식에 대해 최소한 하나의 비자명한 약한 해가 존재함을 증명한다.
• 키르히호프 함수 $M$ 이 0에서 열악한 경우, 즉 $M(0) = 0$ 인 경우에도 해가 존재함을 보여주며, 이는 이전 연구에서 요구하던 $M(t) \geq m_0 > 0$ 조건을 초월한다.
• 앙브로세티-라비노비츠 조건이 필요 없으므로, 부분임계 또는 임계 성장 조건을 갖는 더 일반적인 비선형성 $f(u)$ 를 허용한다.
• 시몬의 부등식과 균일 적분 가능성 논리를 활용하여 가중 소볼레프 공간 $W$ 에서 팔라이스-스미스 수열의 강한 수렴성을 확립한다.
• 비국소항 $ℓ_\mu * F(u)$ 는 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 통해 다루어져, 관련 함수 공간에서 비선형성의 유계성과 연속성을 보장한다.
• 해의 존재성을 보장하기 위해 임베딩 $W \hookrightarrow L^p_V(ℝ^N)$ 의 컴팩턴스와 노름의 약한 하측연속성의 조합을 이용한다.