[논문 리뷰] Existence of solutions for singular double phase problems via the Nehari manifold method

Wulong Liu, Guowei Dai외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Musielak-Orlicz-Sobolev 공간에서 Nehari 다양체 방법을 사용하여, 특이항 $u^{-\ho}$와 매개변수항 $\lambda u^{r-1}$을 포함하는 특이 이중 단계 타원형 문제에 대해 최소 두 개의 약한 해가 존재함을 증명한다. 충분히 작은 $\lambda > 0$에 대해, 한 해는 음수 에너지를 가지며 다른 해는 양수 에너지를 가지며, 이는 섬세한 방법과 Nehari 다양체 위의 제약 최소화를 통해 증명된다.

ABSTRACT

In this paper we study quasilinear elliptic equations driven by the double phase operator and a right-hand side which has the combined effect of a singular and of a parametric term. Based on the fibering method by using the Nehari manifold we are going to prove the existence of at least two weak solutions for such problems when the parameter is sufficiently small.

연구 동기 및 목표

• 이중 단계 연산자에 의해 지배되는 비선형성과 특이성 및 매개변수적 비선형성을 포함하는 준선형 타원형 문제에 대해 다수의 약한 해 존재성을 확립하는 것.
• 에너지 함수가 특이항으로 인해 $C^1$이 아니므로, 특이 이중 단계 문제에 대해 Nehari 다양체 방법을 Musielak-Orlicz-Sobolev 공간으로 확장하는 것.
• 이중 단계 연산자의 비균형 성장과 특이성을 고려하여 에너지 함수의 미분 가능성이 떨어지는 문제에 대응하기 위해 Nehari 다양체 접근법을 수정하는 것.
• 매개변수 $\lambda \in (0, \hat{\lambda}_0^*]$가 작을 경우, 최소 두 개의 서로 다른 약한 해—하나는 음수 에너지를 가지며 다른 하나는 양수 에너지를 가지는 해—의 존재를 증명하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수 $\varphi_\lambda$의 임계점을 식별하기 위해, Nehari 다양체 $\mathcal{N}_\lambda$를 통한 섬세한 방법을 활용한다.
• Nehari 다양체는 $\mathcal{N}_\lambda = \{ u \in W^{1,\mathcal{H}}_0(\Omega) \setminus \{0\} : \langle \varphi_\lambda'(u), u \rangle = 0 \}$로 정의되며, 비자명한 해를 찾는 데 자연스러운 제약 조건으로 기능한다.
• 섬세한 함수의 이阶 도함수 기반으로 분해 $\mathcal{N}_\lambda = \mathcal{N}_\lambda^+ \cup \mathcal{N}_\lambda^-$를 도입하여, 에너지 행동이 다른 해를 분리한다.
• Nehari 다양체의 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 위에서 제약 최소화를 적용하여 양수 에너지를 가지는 두 번째 해를 확보한다. 이 과정에서 하한 연속성과 약수렴 논증을 사용한다.
• Nehari 다양체 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 내에서 수렴하는 최소화 수열 $\{v_n\}$이 존재하며, 이는 약수렴하여 최소화자 $v^*$로 수렴함을 보여주며, 이는 약하른 하한 연속성과 섬세한 조건의 엄격한 부등식을 통해 약한 해임을 증명한다.
• 반증을 통해 $v^*$가 $\Omega$ 거의 모든 곳에서 양수임을 증명한다. 즉, $v^*=0$이 양의 측도를 가진 집합에서 성립한다고 가정하면, 에너지 차분 몫이 $-\infty$로 수렴함을 유도하며, 이는 최소화의 성질과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 함수가 특이항 $u^{-\gamma}$로 인해 연속적으로 미분 가능하지 않은 특이 이중 단계 문제에 대해, Nehari 다양체 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 비균형 성장과 특이 비선형성을 지닌 이중 단계 연산자는 작은 매개변수 값 $\lambda$에 대해 최소 두 개의 약한 해를 가지는가?
• RQ3 두 해의 에너지 행동은 어떻게 되는가? 하나는 음수 에너지를 가지는 Nehari 다양체에 있고, 다른 하나는 양수 에너지를 가지는가?
• RQ4 Nehari 다양체에 기반한 섬세한 방법이 표준 Sobolev 공간이 아닌 Musielak-Orlicz-Sobolev 공간에서 다수의 해 존재를 어떻게 보장하는가?
• RQ5 특이항이 존재하더라도 두 번째 해가 $\Omega$ 거의 모든 곳에서 양수임을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\lambda \in (0, \hat{\lambda}_0^*]$에 대해 $\hat{\lambda}_0^* > 0$이 존재하여 문제 (1.3)은 최소 두 개의 약한 해 $u^*, v^* \in W^{1,\mathcal{H}}_0(\Omega)$를 가진다.
• 해 $u^*$는 $\varphi_\lambda(u^*) < 0$를 만족하며, $\mathcal{N}_\lambda^+$ 위에서의 최소화를 통해 얻어지며, $\Omega$ 거의 모든 곳에서 양수이다.
• 두 번째 해 $v^*$는 $\varphi_\lambda(v^*) > 0$를 만족하며, $\mathcal{N}_\lambda^-$ 위에서의 최소화를 통해 얻어지며, 역시 $\Omega$ 거의 모든 곳에서 양수이다.
• Nehari 다양체 분해 $\mathcal{N}_\lambda = \mathcal{N}_\lambda^+ \cup \mathcal{N}_\lambda^-$는 서로 다른 에너지 수준을 가지는 해를 식별하는 데 필수적이다.
• 해 $v^*$가 $\mathcal{N}_\lambda^-$에 속함을 보장하기 위해 엄격한 부등식 $(p+\gamma-1)\|\nabla v^*\|_p^p + (q+\gamma-1)\|\nabla v^*\|_{q,\mu}^q - \lambda(r+\gamma-1)\|v^*\|_r^r < 0$이 성립함을 증명한다. 이는 등호가 성립하지 않음을 의미하며, $v^* \in \mathcal{N}_\lambda^-$임을 보장한다.
• 해 $v^*$의 양수성은 반증을 통해 확립된다. 즉, $v^*=0$이 양의 측도를 가진 집합에서 성립한다고 가정하면, 에너지 차분 몫이 $-\infty$로 수렴함을 도출하며, 이는 $m_\lambda^-$의 최소성과 모순된다.